研究对象
计算机图形学 Computer Graphics 研究如何用计算机生成、表示和操纵视觉内容。它既处理最终的二维图像，也处理产生图像所需的三维场景、材质、光照和运动。课程沿四条主线展开：
光栅化 Rasterization ：把三维图元投影并离散成屏幕像素，适合实时渲染；几何 Geometry ：描述曲线、曲面和复杂物体，并对网格进行细分、简化等处理；光传输 Light Transport ：模拟光在场景中的发射、反射、折射与散射，得到物理可信的图像；动画与模拟 Animation and Simulation ：描述物体随时间的运动，并用力学规律生成布料、流体等动态效果。
典型应用包括电子游戏、电影特效、动画、工业设计、科学与医学可视化、VR/AR、数字绘画、物理仿真、GUI 和字体排版。共同挑战是构造可交互的虚拟世界，同时理解现实中的几何、光学和运动规律，并把这些规律变成高效算法、硬件管线与显示技术。
图形学的输入通常是场景模型，输出是图像或动画；计算机视觉 Computer Vision 则从图像推断场景信息，图像处理 Image Processing 主要在已有图像上做变换。OpenGL、DirectX 和 Vulkan 是实现图形管线的接口，建模软件与游戏引擎是生产工具，它们都不等同于图形学本身。
向量
点表示位置，向量 Vector 表示位移或方向。给定两个点 A A A B B B A A A B B B
A B → = B − A . \overrightarrow{AB}=B-A.
A B = B − A .
向量 v = ( x , y , z ) T \mathbf v=(x,y,z)^T v = ( x , y , z ) T
∥ v ∥ = x 2 + y 2 + z 2 . \lVert\mathbf v\rVert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
∥ v ∥ = x 2 + y 2 + z 2 .
非零向量除以自身长度可得到单位向量 v ^ = v / ∥ v ∥ \hat{\mathbf v}=\mathbf v/\lVert\mathbf v\rVert v ^ = v / ∥ v ∥
点积
两个向量的 点积 Dot Product 为
a ⋅ b = ∥ a ∥ ∥ b ∥ cos θ = a x b x + a y b y + a z b z . \mathbf a\cdot\mathbf b
=\lVert\mathbf a\rVert\lVert\mathbf b\rVert\cos\theta
=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z.
a ⋅ b = ∥ a ∥ ∥ b ∥ cos θ = a x b x + a y b y + a z b z .
它把两个向量映射为一个标量，最常见的用途有三类：
判断方向接近程度：单位向量的点积就是夹角余弦；正值表示夹角小于 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘
计算投影：a \mathbf a a b ^ \hat{\mathbf b} b ^ a ⋅ b ^ \mathbf a\cdot\hat{\mathbf b} a ⋅ b ^ ( a ⋅ b ^ ) b ^ (\mathbf a\cdot\hat{\mathbf b})\hat{\mathbf b} ( a ⋅ b ^ ) b ^
分解向量：在一组正交单位基下，点积直接给出向量沿各坐标轴的分量。
图形学中的 Lambert 余弦项、镜面高光和视锥判断都大量使用点积。实际计算夹角前应先归一化，否则点积还混入了长度因素。
投影公式可以从正交分解得到。设 b ≠ 0 \mathbf b\ne\mathbf0 b = 0 a \mathbf a a b \mathbf b b a ∥ = λ b \mathbf a_\parallel=\lambda\mathbf b a ∥ = λ b a − λ b \mathbf a-\lambda\mathbf b a − λ b b \mathbf b b
( a − λ b ) ⋅ b = 0. (\mathbf a-\lambda\mathbf b)\cdot\mathbf b=0.
( a − λ b ) ⋅ b = 0.
展开后
λ = a ⋅ b b ⋅ b , \lambda=
\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}
{\mathbf b\cdot\mathbf b},
λ = b ⋅ b a ⋅ b ,
于是
proj b a = a ⋅ b b ⋅ b b . \operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a
=
\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}
{\mathbf b\cdot\mathbf b}\mathbf b.
proj b a = b ⋅ b a ⋅ b b .
当 b \mathbf b b ( a ⋅ b ) b (\mathbf a\cdot\mathbf b)\mathbf b ( a ⋅ b ) b
叉积
三维向量的 叉积 Cross Product 为
a × b = ( a y b z − a z b y a z b x − a x b z a x b y − a y b x ) . \mathbf a\times\mathbf b=
\begin{pmatrix}
a_yb_z-a_zb_y\\
a_zb_x-a_xb_z\\
a_xb_y-a_yb_x
\end{pmatrix}.
a × b = a y b z − a z b y a z b x − a x b z a x b y − a y b x .
结果垂直于 a \mathbf a a b \mathbf b b ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin θ \lVert\mathbf a\rVert\lVert\mathbf b\rVert\sin\theta ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin θ a × b = − ( b × a ) \mathbf a\times\mathbf b=-(\mathbf b\times\mathbf a) a × b = − ( b × a )
把 a \mathbf a a b \mathbf b b a \mathbf a a ∥ b ∥ sin θ \lVert\mathbf b\rVert\sin\theta ∥ b ∥ sin θ
∥ a × b ∥ = ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin θ \lVert\mathbf a\times\mathbf b\rVert
=
\lVert\mathbf a\rVert
\lVert\mathbf b\rVert\sin\theta
∥ a × b ∥ = ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin θ
正好是两向量张成的平行四边形面积，三角形面积则是它的一半。叉积方向同时给这块面积附加了朝向。
二维叉积常把向量嵌入 z = 0 z=0 z = 0 A → B A\to B A → B P P P
s = ( B − A ) × ( P − A ) s=(B-A)\times(P-A)
s = ( B − A ) × ( P − A )
的 z z z P P P z z z z z z A B C ABC A BC A → B A\to B A → B B → C B\to C B → C C → A C\to A C → A z z z P P P
点积提取同向分量，叉积编码垂直方向与有向面积；后续光照和光栅化会反复使用这两种几何含义。
坐标系
三维 正交坐标系 Orthonormal Coordinate Frame 由三个两两垂直的单位向量 u , v , w \mathbf u,\mathbf v,\mathbf w u , v , w
∥ u ∥ = ∥ v ∥ = ∥ w ∥ = 1 , u ⋅ v = v ⋅ w = w ⋅ u = 0. \lVert\mathbf u\rVert=\lVert\mathbf v\rVert=\lVert\mathbf w\rVert=1,
\qquad
\mathbf u\cdot\mathbf v
=\mathbf v\cdot\mathbf w
=\mathbf w\cdot\mathbf u
=0.
∥ u ∥ = ∥ v ∥ = ∥ w ∥ = 1 , u ⋅ v = v ⋅ w = w ⋅ u = 0.
若它们还满足 u × v = w \mathbf u\times\mathbf v=\mathbf w u × v = w p \mathbf p p
p = ( p ⋅ u ) u + ( p ⋅ v ) v + ( p ⋅ w ) w . \mathbf p=(\mathbf p\cdot\mathbf u)\mathbf u
+(\mathbf p\cdot\mathbf v)\mathbf v
+(\mathbf p\cdot\mathbf w)\mathbf w.
p = ( p ⋅ u ) u + ( p ⋅ v ) v + ( p ⋅ w ) w .
模型坐标、世界坐标、相机坐标和屏幕坐标描述的是同一个对象在不同参考系下的数值。后续的变换矩阵，本质上是在这些坐标系之间转换表示。
矩阵
矩阵 Matrix 把一组数组织为线性映射。若 A A A m × n m\times n m × n B B B n × p n\times p n × p C = A B C=AB C = A B m × p m\times p m × p
C i j = ∑ k = 1 n A i k B k j . C_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}.
C ij = k = 1 ∑ n A ik B kj .
矩阵乘法满足结合律和分配律，但一般不满足交换律：A B ≠ B A AB\ne BA A B = B A
单位矩阵 I I I A A A A − 1 A^{-1} A − 1 A A − 1 = A − 1 A = I AA^{-1}=A^{-1}A=I A A − 1 = A − 1 A = I
( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 . (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 .
转置会交换行列，且 ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T ( A B ) T = B T A T R − 1 = R T R^{-1}=R^T R − 1 = R T
长度保持性可以直接验证：
∥ R x ∥ 2 = ( R x ) T ( R x ) = x T R T R x = x T x = ∥ x ∥ 2 . \lVert R\mathbf x\rVert^2
=(R\mathbf x)^T(R\mathbf x)
=\mathbf x^TR^TR\mathbf x
=\mathbf x^T\mathbf x
=\lVert\mathbf x\rVert^2.
∥ R x ∥ 2 = ( R x ) T ( R x ) = x T R T R x = x T x = ∥ x ∥ 2 .
同理，
( R a ) ⋅ ( R b ) = a T R T R b = a ⋅ b , (R\mathbf a)\cdot(R\mathbf b)
=
\mathbf a^TR^TR\mathbf b
=
\mathbf a\cdot\mathbf b,
( R a ) ⋅ ( R b ) = a T R T R b = a ⋅ b ,
所以向量长度与夹角都不变。反射矩阵也可能是正交矩阵；旋转还要求 det R = 1 \det R=1 det R = 1 − 1 -1 − 1
