计算机图形学-02：几何变换

线性变换

二维 线性变换 Linear Transformation 把输入坐标映射为

$$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.$$

它必须保持原点，并满足可加性与齐次性，因此平移不属于线性变换。缩放、旋转、镜像和错切都可以直接写成 $2\times2$ 矩阵。

二维变换

沿两条坐标轴分别缩放 $s_x,s_y$：

$$S(s_x,s_y)= \begin{pmatrix}s_x&0\\0&s_y\end{pmatrix}.$$

绕原点逆时针旋转 $\theta$：

$$R(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}.$$

这个矩阵可以从基向量的变化推出。旋转后的 $x$ 轴单位向量为

$$R\mathbf e_x= \begin{pmatrix} \cos\theta\\ \sin\theta \end{pmatrix},$$

旋转后的 $y$ 轴单位向量与它垂直，并同样逆时针旋转：

$$R\mathbf e_y= \begin{pmatrix} -\sin\theta\\ \cos\theta \end{pmatrix}.$$

线性映射的矩阵以各基向量的像为列，把两列并在一起就得到 $R(\theta)$。这比单独记四个三角函数符号更容易检查。

关于 $y$ 轴镜像可写成 $\operatorname{diag}(-1,1)$。水平错切的形式为

$$H(k)= \begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}, \qquad x'=x+ky.$$

旋转矩阵的逆等于转置，并且 $R(-\theta)=R(\theta)^{-1}$。二维缩放中，负系数的个数为奇数时会翻转坐标系朝向；两个系数都为负则相当于正缩放后再旋转 $180^\circ$，整体朝向不变。任一系数为零都会压扁一个维度，使矩阵不可逆。

齐次坐标

平移 $x'=x+t_x, y'=y+t_y$ 含有常数项，无法由 $2\times2$ 矩阵表示。齐次坐标 Homogeneous Coordinates 为二维坐标增加第三个分量：

$$\text{点 }(x,y)\longrightarrow(x,y,1)^T, \qquad \text{向量 }(x,y)\longrightarrow(x,y,0)^T.$$

于是平移可以统一写成

$$T(t_x,t_y)= \begin{pmatrix} 1&0&t_x\\ 0&1&t_y\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

点的末分量为 1，所以会受到平移；向量表示两个点的差，末分量为 0，不应因坐标原点移动而改变。齐次坐标还解释了常见运算：点减点得到向量，点加向量得到点，而两个点相加没有直接的仿射几何意义。

当 $w\ne0$ 时，$(wx,wy,w)$ 的任意非零整体倍数都表示同一个二维点 $(x,y)$。这个比例等价性在透视投影中尤为重要。

更一般地，$w\ne0$ 的齐次坐标 $(X,Y,w)$ 对应仿射点 $(X/w,Y/w)$；$w=0$ 时无法做这种除法，它表示无穷远方向。仿射变换的最后一行固定为 $(0,0,1)$，因此点仍是点、方向仍是方向；透视变换允许改变 $w$，再通过齐次除法产生随深度变化的缩放。

仿射变换

线性变换与平移组合成 仿射变换 Affine Transformation：

$$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a&b&t_x\\ c&d&t_y\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}.$$

仿射变换保持直线、平行关系和同一直线上的长度比，但不一定保持角度与绝对长度。使用齐次矩阵后，缩放、旋转、错切和平移都能参与同一种矩阵乘法，整条变换链可以预先合并。

变换次序

对列向量约定，若希望先应用 $A_1$，再应用 $A_2$，最终结果是

$$\mathbf p'=A_2A_1\mathbf p.$$

矩阵从右向左作用。先平移再旋转，与先旋转再平移得到的结果通常不同。例如让物体绕自身中心 $\mathbf c$ 旋转，应先把中心移到原点，再旋转，最后移回：

$$M=T(\mathbf c)R(\theta)T(-\mathbf c).$$

对列向量，代码中“先做”的变换写在矩阵乘积右侧；改变乘法顺序通常会改变旋转中心和最终位置。

把一串变换预乘为单个矩阵，可以显著减少大量顶点重复执行时的计算开销。

逆变换

逆变换 Inverse Transformation 用于从目标坐标系返回原坐标系。平移的逆是反向平移，缩放的逆是缩放倒数，旋转的逆是反向旋转。复合变换必须按相反次序逐个撤销：

$$(T R S)^{-1}=S^{-1}R^{-1}T^{-1}.$$

若某个缩放轴的系数为零，空间信息已经丢失，变换不可逆。工程中应避免在需要法线变换或坐标反查的路径里引入奇异矩阵。

三维变换

三维仿射变换使用 $4\times4$ 齐次矩阵。点写成 $(x,y,z,1)^T$，向量写成 $(x,y,z,0)^T$。缩放和平移为

$$S= \begin{pmatrix} s_x&0&0&0\\ 0&s_y&0&0\\ 0&0&s_z&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}, \qquad T= \begin{pmatrix} 1&0&0&t_x\\ 0&1&0&t_y\\ 0&0&1&t_z\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

绕 $x,y,z$ 轴的旋转分别只改变另外两个坐标。任意三维旋转可以由三个轴旋转组合，但 欧拉角 Euler Angles 的次序会影响结果，并可能出现 万向节锁 Gimbal Lock。四元数能更稳定地插值旋转，不过不属于本课程的展开重点。

比较不同教材或 API 的矩阵前，应先统一列向量或行向量约定、左右手系和相机方向；否则即使矩阵形式相似，符号和乘法次序也可能不同。

按右手系和列向量约定，三个轴旋转矩阵为

$$R_x(\theta)= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\cos\theta&-\sin\theta&0\\ 0&\sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},$$

$$R_y(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta&0&\sin\theta&0\\ 0&1&0&0\\ -\sin\theta&0&\cos\theta&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},$$

$$R_z(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta&0&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

例如绕 $x$ 轴旋转时，$x$ 分量不变，$yz$ 平面执行一次二维旋转。改变坐标系手性、向量位于矩阵哪一侧或把主动旋转改为坐标系旋转，都会改变符号与乘法次序。

法线变换

表面切向量会随物体的线性部分 $M$ 变换：

$$\mathbf t'=M\mathbf t.$$

法线的定义是与所有切向量垂直。若直接令 $\mathbf n'=M\mathbf n$，非均匀缩放后一般有

$$(M\mathbf n)^T(M\mathbf t) = \mathbf n^TM^TM\mathbf t \ne0,$$

法线会失去垂直性。

设正确的法线变换为 $\mathbf n'=G\mathbf n$。要求任意原切向量满足

$$(\mathbf n')^T\mathbf t' = (G\mathbf n)^TM\mathbf t = \mathbf n^TG^TM\mathbf t =0.$$

原来已有 $\mathbf n^T\mathbf t=0$，因此只要选择

$$G^TM=I,$$

就能保持这条关系。解得

$$G=M^{-T}.$$

所以 法线矩阵 Normal Matrix 是模型或 Model–View 线性部分的逆转置：

$$\mathbf n' = \operatorname{normalize} \left( M^{-T}\mathbf n \right).$$

平移不影响方向，只取齐次矩阵左上角的 $3\times3$ 线性部分。纯旋转时 $M^{-T}=M$，直接乘旋转矩阵没有问题；非均匀缩放和错切时必须使用逆转置。

归一化只能修正长度，不能修正非均匀缩放造成的方向错误。

任意轴旋转

令旋转轴 $\mathbf n$ 为单位向量。先把待旋转向量 $\mathbf p$ 分成平行和垂直两部分：

$$\mathbf p_\parallel =(\mathbf n\cdot\mathbf p)\mathbf n =\mathbf n\mathbf n^T\mathbf p,$$

$$\mathbf p_\perp =\mathbf p-\mathbf p_\parallel.$$

平行分量在旋转中保持不变。垂直平面内，$\mathbf p_\perp$ 与 $\mathbf n\times\mathbf p_\perp$ 互相垂直、长度相同，构成二维旋转所需的两条基。因此

$$\mathbf p' = \mathbf p_\parallel +\cos\alpha\,\mathbf p_\perp +\sin\alpha (\mathbf n\times\mathbf p_\perp).$$

又因为 $\mathbf n\times\mathbf p_\parallel=\mathbf0$，代入分解并整理：

$$\mathbf p' = \cos\alpha\,\mathbf p +(1-\cos\alpha) \mathbf n\mathbf n^T\mathbf p +\sin\alpha (\mathbf n\times\mathbf p).$$

把叉积写成反对称矩阵 $[\mathbf n]_\times\mathbf p=\mathbf n\times\mathbf p$，便得到 Rodrigues 旋转公式 Rodrigues’ Rotation Formula：

$$R(\mathbf n,\alpha) =\cos\alpha I +(1-\cos\alpha)\mathbf n\mathbf n^T +\sin\alpha \begin{pmatrix} 0&-n_z&n_y\\ n_z&0&-n_x\\ -n_y&n_x&0 \end{pmatrix}.$$

前两项共同保留轴向分量并缩放垂直分量，第三项补上垂直平面内旋转 $90^\circ$ 的方向。代入 $\mathbf p=\mathbf n$ 可得 $R\mathbf n=\mathbf n$；代入 $\alpha=0$ 可得 $R=I$，都是直接的正确性检查。

若旋转轴经过点 $\mathbf c$ 而不经过原点，应先平移 $-\mathbf c$，完成旋转后再移回：

$$M = T(\mathbf c) R(\mathbf n,\alpha) T(-\mathbf c).$$