计算机图形学-02：几何变换

变换的用途

几何变换把一个点、向量或物体从一个状态换算到另一个状态。相机沿轨迹移动、机器人关节弯曲、角色被压扁后弹回、图像缩放和旋转，都可以归结为坐标的系统变化。

几何变换 Geometric Transformation把坐标、位置或姿态换算到新的状态。动画中的关节运动通常先给出关节角，再通过一串局部变换得到末端位置；如果反过来给定手的目标位置，要求关节角如何变化，则属于逆运动学。三维场景成像也需要变换：模型先放入世界，视图再固定相机，投影最后把三维空间映射到二维屏幕。

变换需要满足三个工程要求：可以批量作用于顶点，可以和其他变换复合，也应当在条件允许时求出逆变换。矩阵正好提供了这三种操作的统一表示。

写出二维矩阵

二维线性变换可以写成

$$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.$$

矩阵的每一列是相应基向量经过变换后的坐标。令 $\mathbf e_x=(1,0)^T$、$\mathbf e_y=(0,1)^T$，分别计算它们的变换结果，就能把两列直接写入矩阵。这比死记矩阵元素更可靠，也适用于三维变换。

矩阵的尺寸同时记录了它能作用于什么形状的数据。$m\times n$ 矩阵可以作用于 $n\times1$ 列向量，结果是 $m\times1$；矩阵乘法的中间维度必须相同。把变换写成矩阵后，同一条规则只需存储一次，就能批量作用于网格的所有顶点。

缩放与反射

沿 x、y 两个方向分别缩放 $s_x,s_y$：

$$S(s_x,s_y)= \begin{pmatrix}s_x&0\\0&s_y\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =S(s_x,s_y)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.$$

当 $s_x=s_y$ 时是均匀缩放，长度按统一比例变化，角度和形状比例保持不变；当两个系数不同时是非均匀缩放，物体会在一个方向拉长、在另一个方向压扁。动画中的 squash-and-stretch 就属于这一类变换。

系数为负时会发生反射。关于 y 轴的反射是

$$R_y^{\mathrm{reflect}}= \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}, \qquad x'=-x,\quad y'=y.$$

关于 x 轴的反射为 $\operatorname{diag}(1,-1)$。线性部分的行列式可以判断面积缩放和定向：行列式为负时手性翻转，为零时至少有一个方向被压扁，变换不可逆。

两个负缩放系数的组合会翻转两次手性，几何上等价于一次正缩放再加上半周旋转；一个零系数则让某个方向的信息不可恢复。导入不同工具链的模型时，缩放符号、顶点绕序和法线朝向要一起检查。

错切

水平错切保持 y 坐标不变，让 x 的位移随高度线性变化。设顶边 $y=1$ 的水平位移为 $a$，则

$$H_x(a)= \begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+ay\\y\end{pmatrix}.$$

推导只需观察三个位置：底边 $y=0$ 没有水平位移，顶边 $y=1$ 位移为 $a$，中间高度的位移按比例过渡。因此位移是 $ay$。错切保持面积，因为 $\det H_x(a)=1$，但会改变角度，把正方形变成平行四边形。

竖直错切为

$$H_y(a)= \begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}, \qquad y'=y+ax.$$

旋转

没有额外说明时，二维旋转默认绕原点进行，正角度为逆时针方向。绕原点逆时针旋转 $\theta$：

$$R(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}.$$

推导时先设矩阵为 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$。单位基向量 $\mathbf e_x$ 旋转后变为 $(\cos\theta,\sin\theta)^T$，因此第一列确定为这两个数；$\mathbf e_y$ 旋转后变为 $(-\sin\theta,\cos\theta)^T$，于是第二列也确定。旋转不改变长度和角度，矩阵列向量自然构成标准正交基。

反向旋转只需把角度换成 $-\theta$：

$$R(-\theta)=R(\theta)^T=R(\theta)^{-1}.$$

这条性质来自旋转矩阵的正交性，也说明求旋转的逆不需要通用矩阵求逆。

旋转保持任意向量的长度和夹角。代数上，若 $R^TR=I$，则

$$\lVert R\mathbf x\rVert^2 =\mathbf x^TR^TR\mathbf x =\lVert\mathbf x\rVert^2,$$

$$(R\mathbf a)\cdot(R\mathbf b)=\mathbf a\cdot\mathbf b.$$

这也是判断一个矩阵是否保持欧氏几何关系的重要依据。

图中两行使用相同的平移量和旋转角，但上行先平移再旋转，下行先旋转再平移。两种结果的朝向可以相同，中心位置却不同，直观显示了矩阵乘法不交换和变换顺序的几何后果。

线性变换

缩放、反射、错切和旋转都能写成 $\mathbf p'=A\mathbf p$，因此属于线性变换 Linear Transformation。线性映射满足

$$f(\mathbf u+\mathbf v)=f(\mathbf u)+f(\mathbf v), \qquad f(k\mathbf u)=kf(\mathbf u).$$

它必然把原点映射到原点。二维矩阵乘法展开后只有 $ax+by$ 这样的齐次线性组合，无法产生固定常数项；平移要求 $x'=x+t_x$、$y'=y+t_y$，所以平移不是二维方阵能直接表示的线性变换。

齐次坐标

为了让平移和其他变换使用同一种矩阵乘法，引入齐次坐标 Homogeneous Coordinates，把二维坐标增加一个分量：

$$\text{点 }(x,y)\mapsto(x,y,1)^T, \qquad \text{向量 }(x,y)\mapsto(x,y,0)^T.$$

二维平移矩阵为

$$T(t_x,t_y)= \begin{pmatrix} 1&0&t_x\\ 0&1&t_y\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

它作用于点时得到

$$T\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x+t_x\\y+t_y\\1\end{pmatrix},$$

作用于向量时得到

$$T\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}.$$

向量表示方向和位移，整体平移不应改变它，所以末位取 0；点表示位置，平移必须生效，所以末位取 1。

齐次坐标还保留了点和向量的代数关系。两个点相减得到向量，点加向量得到点，两个向量相加仍是向量。更一般地，$(X,Y,w)^T$ 在 $w\ne0$ 时对应欧氏点

$$\left(\frac Xw,\frac Yw\right).$$

因此，同一个点可以由任意非零倍数的齐次向量表示；$w=1$ 是常用的规范形式，$w=0$ 表示无穷远方向。两个规范点相加后末位为 2，齐次除法把它还原为两点的中点。若使用带权代表元，则应先说明权重，不能把任意两个齐次向量直接相加都解释成中点。

仿射变换

线性变换与平移的组合称为仿射变换 Affine Transformation：

$$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a&b&t_x\\ c&d&t_y\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}.$$

左上角的 $2\times2$ 区域是线性部分，最后一列是平移，最后一行 $(0,0,1)$ 是二维仿射矩阵的结构约束。矩阵作用在点上时先执行线性变换，再叠加平移。

仿射变换保持直线、平行关系以及同一直线上线段的比例。它不能产生透视投影中的近大远小，因为平行线在仿射变换下仍然平行。齐次坐标增加了一个分量和矩阵的一圈元素，换来的好处是平移、旋转、缩放可以统一复合。这里的“最后一行固定”只针对仿射变换；一般齐次投影矩阵的最后一行可以不同，齐次除法也会在那时真正改变欧氏坐标。

仿射变换复合后仍然是仿射变换。若先施加 $(A_1,\mathbf t_1)$，再施加 $(A_2,\mathbf t_2)$，则

$$A=A_2A_1, \qquad \mathbf t=A_2\mathbf t_1+\mathbf t_2.$$

后一个线性部分会继续作用于前一个平移量，这正是矩阵顺序不能交换的具体原因。

复合与逆

列向量约定下，矩阵从右向左作用。若先施加 $A_1$，再施加 $A_2$，结果是

$$\mathbf p'=A_2A_1\mathbf p.$$

先平移再旋转与先旋转再平移一般不同。前者会把平移向量一起旋转，后者的平移仍沿世界坐标的固定方向。矩阵乘法不满足交换律，所以变换顺序携带几何意义；结合律允许先把一长串共享的变换预乘成一个矩阵，再批量作用于大量顶点。

一个复合变换也可以拆成若干简单变换。若要让物体绕自身中心 $\mathbf c$ 旋转，依次执行：

1. $T(-\mathbf c)$，把旋转中心移到原点；
2. $R(\theta)$，绕原点旋转；
3. $T(\mathbf c)$，把物体移回去。

所以综合矩阵为

$$M=T(\mathbf c)R(\theta)T(-\mathbf c).$$

撤销变换要按相反顺序使用逆矩阵。基本变换的逆分别是反向平移、倒数缩放和反向旋转；若 $M=T R S$，则

$$M^{-1}=S^{-1}R^{-1}T^{-1}.$$

当缩放系数为 0 时，空间信息已经丢失，矩阵不可逆。

对仿射矩阵

$$M=\begin{pmatrix}A&\mathbf t\\\mathbf0^T&1\end{pmatrix},$$

如果 $A$ 可逆，则

$$M^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1}&-A^{-1}\mathbf t\\ \mathbf0^T&1 \end{pmatrix}.$$

这条公式把“反向且反序”写成了矩阵结构。实际数值计算中，旋转可以转置求逆；一般矩阵则通常用分解算法求解，避免显式求逆。

三维变换

三维点和向量的齐次坐标为

$$\text{点 }(x,y,z,1)^T, \qquad \text{向量 }(x,y,z,0)^T.$$

三维仿射变换使用 $4\times4$ 矩阵：

$$\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a&b&c&t_x\\ d&e&f&t_y\\ g&h&i&t_z\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1 \end{pmatrix}.$$

左上角 $3\times3$ 矩阵 $A$ 负责线性变换，最后一列前三个数是平移量，最后一行是仿射结构。三维齐次代表元 $(X,Y,Z,w)^T$ 在 $w\ne0$ 时表示 $(X/w,Y/w,Z/w)$。

三维缩放和平移矩阵为

$$S(s_x,s_y,s_z)= \begin{pmatrix} s_x&0&0&0\\ 0&s_y&0&0\\ 0&0&s_z&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}, \qquad T(t_x,t_y,t_z)= \begin{pmatrix} 1&0&0&t_x\\ 0&1&0&t_y\\ 0&0&1&t_z\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

三维变换仍然遵守“线性部分先作用，平移后作用”的顺序。左上角的 $3\times3$ 块可以表示缩放、错切、旋转或它们的组合；最后一列描述位置偏移，方向向量的齐次末位为 0，因此不会被平移改变。

主轴旋转

绕 x 轴旋转时 x 分量不变，y、z 在 yz 平面内做二维旋转：

$$R_x(\alpha)= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\ 0&\sin\alpha&\cos\alpha&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

绕 z 轴旋转时 z 分量不变，x、y 使用二维旋转块：

$$R_z(\gamma)= \begin{pmatrix} \cos\gamma&-\sin\gamma&0&0\\ \sin\gamma&\cos\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

绕 y 轴旋转时，在垂直于它的平面中按 $z,x$ 排列坐标，可继续使用二维旋转模板：

$$R_y(\beta)= \begin{pmatrix} \cos\beta&0&\sin\beta&0\\ 0&1&0&0\\ -\sin\beta&0&\cos\beta&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

其中看似特殊的符号来自右手坐标轴的循环关系 $x\times y=z$、$y\times z=x$、$z\times x=y$。例如

$$R_y(\beta)(0,0,1,0)^T=(\sin\beta,0,\cos\beta,0)^T,$$

说明正 z 轴向正 x 轴转；

$$R_y(\beta)(1,0,0,0)^T=(\cos\beta,0,-\sin\beta,0)^T.$$

说明正 x 轴向负 z 轴转。这个符号不是笔误，换坐标手性时必须连同旋转正方向和叉积约定一起修改。

主轴旋转矩阵都满足正交性，行列式为 1，表示纯旋转不翻转定向。把二维旋转模板放到与旋转轴垂直的坐标平面中，就能重新得到三个矩阵；y 轴对应的平面采用 $z,x$ 的循环顺序，所以展开到通常的 $x,y,z$ 分量顺序时，两个正弦项的位置和符号与另外两轴不同。

蓝色平面垂直于 x 轴，红色虚线箭头标出绕该轴的旋转。x 方向分量保持不变，y、z 分量在蓝色平面内按二维旋转规则变化；另外两条轴可用同样方法分析。

欧拉角

把三次主轴旋转按固定顺序复合，可以表示任意三维朝向，这组参数称为欧拉角 Euler Angles。例如飞机的俯仰 Pitch、偏航 Yaw 和滚转 Roll，分别描述抬头低头、左右转向和机身倾斜。以一种轴序为例：

$$R_{xyz}(\alpha,\beta,\gamma) =R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma),$$

右侧的 $R_z$ 最先作用。欧拉角有两个重要限制。第一，旋转顺序不能随意交换，不同轴序得到的朝向一般不同。第二，某些中间角取到奇异值时，第一和第三个旋转轴可能重合，参数失去独立性，这就是万向节锁。物体本身仍可以旋转，退化的是这组三个参数的表达方式。

万向节锁的后果是姿态到三个角的反解不再唯一，动画插值还可能出现某个方向难以独立控制。它不是说三维物体失去了旋转能力，而是欧拉角这组三参数在特定姿态失去了独立性。

图中飞机的俯仰、偏航和滚转对应三条不同转轴；它们的轴序和“绕固定轴还是绕随物体运动的轴”会影响最终姿态。图示用于说明三个角的几何含义，奇异姿态需要从参数独立性单独分析。

任意轴旋转

欧拉角把旋转拆成三次主轴旋转；另一种表示直接给出单位旋转轴 $\mathbf n=(n_x,n_y,n_z)^T$ 和角度 $\alpha$，称为罗德里格斯旋转公式 Rodrigues’ Rotation Formula。先讨论经过原点的轴。给定待旋转向量 $\mathbf p$，按轴方向分解：

$$\mathbf p_\parallel=(\mathbf n\cdot\mathbf p)\mathbf n =\mathbf n\mathbf n^T\mathbf p,$$

$$\mathbf p_\perp=\mathbf p-\mathbf p_\parallel.$$

平行分量沿旋转轴，旋转时保持不变。垂直平面中，$\mathbf n\times\mathbf p_\perp$ 与 $\mathbf p_\perp$ 垂直且长度相同，方向由右手定则确定。于是垂直分量旋转后为

$$\mathbf p_\perp' =\cos\alpha\,\mathbf p_\perp +\sin\alpha(\mathbf n\times\mathbf p).$$

把平行分量加回来：

$$\begin{aligned} \mathbf p' &=\mathbf n\mathbf n^T\mathbf p +\cos\alpha(\mathbf p-\mathbf n\mathbf n^T\mathbf p) +\sin\alpha(\mathbf n\times\mathbf p)\\ &=\cos\alpha\,\mathbf p +(1-\cos\alpha)\mathbf n\mathbf n^T\mathbf p +\sin\alpha(\mathbf n\times\mathbf p). \end{aligned}$$

将叉积写成反对称矩阵

$$[\mathbf n]_\times= \begin{pmatrix} 0&-n_z&n_y\\ n_z&0&-n_x\\ -n_y&n_x&0 \end{pmatrix},$$

即可得到罗德里格斯旋转矩阵：

$$R(\mathbf n,\alpha) =\cos\alpha I +(1-\cos\alpha)\mathbf n\mathbf n^T +\sin\alpha[\mathbf n]_\times.$$

当 $\alpha=0$ 时它退化为单位矩阵；当 $\mathbf p=\mathbf n$ 时旋转轴自身保持不动；当 $\alpha=180^\circ$ 时

$$R(\mathbf n,\pi)=2\mathbf n\mathbf n^T-I,$$

只有垂直于轴的分量反向，轴向分量不变。若旋转轴经过空间点 $\mathbf c$，先把轴移到原点，再旋转，最后移回去：

$$M=T(\mathbf c)R(\mathbf n,\alpha)T(-\mathbf c).$$

图中的黑点是指定旋转点，未必是物体中心。先把黑点移到原点，再绕原点旋转，最后把黑点移回原位置；物体相对于黑点的距离保持不变。三幅操作对应矩阵从右向左的作用顺序。

旋转插值

旋转矩阵不适合直接逐元素线性插值。把 $15^\circ$ 和 $25^\circ$ 的两个旋转矩阵逐元素平均，结果通常不再正交，也不等于 $20^\circ$ 的旋转。动画和相机轨迹需要在两个姿态之间平滑插值，因此工程上常用单位四元数表示旋转。单位四元数的四个分量共同表示一个旋转，不能把它们分别理解成四个独立角度；它还要满足单位长度约束。

法线变换

位置和方向都可以用齐次坐标区分，但法线不能在所有情况下直接套用模型矩阵。法线的定义是：它必须与表面上每一个切向量垂直。若切向量经线性部分 $M$ 变换为

$$\mathbf t'=M\mathbf t,$$

设法线的变换为 $\mathbf n'=G\mathbf n$，要求任意原始正交对都保持正交：

$$(G\mathbf n)^T(M\mathbf t)=0.$$

由于法线方向最终还会归一化，满足正交约束的一组方便选择是

$$G^TM=I, \qquad G=M^{-T}=(M^{-1})^T.$$

因此正确的法线变换是

$$\mathbf n'=\operatorname{normalize}(M^{-T}\mathbf n).$$

非均匀缩放时，直接使用 $M\mathbf n$ 会破坏法线与切向量的垂直关系。比如切向量 $(1,1,0)$、法线 $(1,-1,0)$，取 $M=\operatorname{diag}(2,1,1)$，直接变换法线得到 $(2,-1,0)$，与变换后切向量 $(2,1,0)$ 的点积为 3；逆转置得到 $(1/2,-1,0)$，点积仍为 0。

实际渲染器通常把模型线性部分左上角 $3\times3$ 的逆转置预先计算成 normalMatrix，再在着色器中逐顶点或逐片元使用。只有旋转和均匀缩放时，法线方向可以在普通变换后重新归一化；存在非均匀缩放或错切时，单纯归一化不能纠正方向偏差。若缩放系数为 0，曲面已经坍缩，法线和逆转置都失去定义。