计算机图形学-03：观察与投影

相机约定

模型变换把物体从局部坐标放入世界坐标。观察同一场景时，相机的位置和朝向仍然可以任意变化，因此需要把世界坐标继续转换到 相机坐标 Camera Space。

设相机位置为 $\mathbf e$，观察方向为 $\mathbf g$，向上参考方向为 $\mathbf t$。课程采用右手相机坐标：相机位于原点，朝 $-z$ 方向观察，$+y$ 向上。先构造相机的三个单位基：

$$\mathbf w=-\frac{\mathbf g}{\lVert\mathbf g\rVert}, \qquad \mathbf u= \frac{\mathbf t\times\mathbf w} {\lVert\mathbf t\times\mathbf w\rVert}, \qquad \mathbf v=\mathbf w\times\mathbf u.$$

$\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$ 分别指向相机的右、上、后方。第一步取 $\mathbf w=-\hat{\mathbf g}$，是因为相机看向自身的 $-z$；第二步用叉积得到右方向；第三步再做一次叉积，使三个方向严格正交。若给定的 $\mathbf t$ 没有与 $\mathbf g$ 完全垂直，这个过程也完成了一次 Gram–Schmidt 正交化。

当 $\mathbf t$ 与 $\mathbf g$ 平行时，$\mathbf t\times\mathbf w=\mathbf0$，相机的横向方向无法确定。实际实现应检测这种退化情况，并换用不平行的上方向。

视图矩阵

视图矩阵 View Matrix 是相机到世界变换的逆。相机局部坐标到世界坐标的旋转矩阵以相机基为列：

$$R_{\mathrm{cam}\rightarrow\mathrm{world}} = \begin{pmatrix} u_x&v_x&w_x\\ u_y&v_y&w_y\\ u_z&v_z&w_z \end{pmatrix}.$$

连同相机位置，完整的相机到世界变换为

$$M_{\mathrm{cam}} = \begin{pmatrix} u_x&v_x&w_x&e_x\\ u_y&v_y&w_y&e_y\\ u_z&v_z&w_z&e_z\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

渲染需要相反方向：把世界中的点写成相机坐标，所以视图矩阵是 $M_{\mathrm{cam}}^{-1}$。相机基为正交单位基，旋转矩阵满足 $R^{-1}=R^T$。先把世界平移 $-\mathbf e$，再投影到三个相机基上：

$$M_{\mathrm{view}} = \begin{pmatrix} u_x&u_y&u_z&0\\ v_x&v_y&v_z&0\\ w_x&w_y&w_z&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0&-e_x\\ 0&1&0&-e_y\\ 0&0&1&-e_z\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

对世界坐标点 $\mathbf p$，结果前三维也可直接写成

$$\mathbf p_{\mathrm{view}} = \begin{pmatrix} \mathbf u\cdot(\mathbf p-\mathbf e)\\ \mathbf v\cdot(\mathbf p-\mathbf e)\\ \mathbf w\cdot(\mathbf p-\mathbf e) \end{pmatrix}.$$

这说明视图变换的本质是：以相机为新原点，分别测量点在相机右、上、后三个方向上的坐标。把相机移动到标准位置，与让整个世界做相反变换完全等价。

正交投影

正交投影 Orthographic Projection 的可见区域是长方体。为保持与课件一致，设相机看向 $-z$，近平面和远平面的坐标分别为 $n$、$f$，二者都为负数，并满足 $n>f$。这里的 $n,f$ 是相机坐标中的有符号位置；实际接口常把近平面、远平面写成正距离 $d_n,d_f$，在该约定下应转换为 $n=-d_n$、$f=-d_f$，不要把两种记法直接混用。长方体为

$$[l,r]\times[b,t]\times[f,n].$$

目标是把它映射到规范立方体 $[-1,1]^3$。这一过程只有平移和缩放。

长方体中心为

$$\mathbf c= \left( \frac{l+r}{2}, \frac{b+t}{2}, \frac{f+n}{2} \right).$$

先平移 $-\mathbf c$，各轴区间就关于原点对称；三个边长分别为 $r-l$、$t-b$、$n-f$，再分别乘以 $2/(r-l)$、$2/(t-b)$、$2/(n-f)$，半边长便变成 1。因此

$$M_{\mathrm{ortho}} = \begin{pmatrix} \frac{2}{r-l}&0&0&0\\ 0&\frac{2}{t-b}&0&0\\ 0&0&\frac{2}{n-f}&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0&-\frac{r+l}{2}\\ 0&1&0&-\frac{t+b}{2}\\ 0&0&1&-\frac{n+f}{2}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

展开后，

$$M_{\mathrm{ortho}} = \begin{pmatrix} \frac{2}{r-l}&0&0&-\frac{r+l}{r-l}\\ 0&\frac{2}{t-b}&0&-\frac{t+b}{t-b}\\ 0&0&\frac{2}{n-f}&-\frac{n+f}{n-f}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

代入边界可验证：$x=l,r$ 分别映射到 $-1,1$，$y=b,t$ 分别映射到 $-1,1$，$z=f,n$ 分别映射到 $-1,1$。正交投影不含除以深度的操作，所以物体的屏幕大小不随远近变化。

透视目标

透视投影 Perspective Projection 的可见区域是截头锥。仍采用同一有符号约定：近平面位于 $z=n<0$，其矩形边界为 $l,r,b,t$；远平面位于 $z=f<n$。先把截头锥挤压为正交投影使用的长方体，再应用 $M_{\mathrm{ortho}}$。

取相机空间中的点 $P=(x,y,z)$。连接原点与 $P$ 的射线和近平面相交于 $P'=(x',y',n)$。从 $xz$、$yz$ 两个截面观察，两个三角形分别相似：

$$\frac{x'}{n}=\frac{x}{z}, \qquad \frac{y'}{n}=\frac{y}{z}.$$

因此

$$x'=\frac{nx}{z}, \qquad y'=\frac{ny}{z}.$$

由于 $n,z$ 同为负数，比例 $n/z$ 为正。$|z|$ 越大，比例越小，远处物体自然缩小。

这里出现了除以 $z$，普通三维线性变换无法直接完成。齐次坐标允许先用矩阵得到四维裁剪坐标，再统一除以第四分量。若令

$$(x_c,y_c,w_c)=(nx,ny,z),$$

齐次除法后就有

$$\left( \frac{x_c}{w_c}, \frac{y_c}{w_c} \right) = \left( \frac{nx}{z}, \frac{ny}{z} \right).$$

因此，挤压矩阵的第一、二、四行已经确定：

$$\begin{pmatrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&A&B\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}.$$

深度求解

挤压不能丢掉深度，否则后续无法做遮挡判断。$x'$、$y'$ 只依赖射线方向，同一条相机射线上的点会投到同一个屏幕位置；深度仍要保持前后顺序。

由于目标深度只应依赖原来的 $z$，设第三行产生

$$z_c=Az+B.$$

齐次除法后的深度是

$$z'=\frac{z_c}{w_c} = \frac{Az+B}{z}.$$

课件选择让近、远两个平面的深度保持不变。于是

$$z=n \quad\Longrightarrow\quad \frac{An+B}{n}=n,$$

$$z=f \quad\Longrightarrow\quad \frac{Af+B}{f}=f.$$

整理为二元一次方程：

$$An+B=n^2, \qquad Af+B=f^2.$$

两式相减，

$$A(n-f)=n^2-f^2=(n-f)(n+f),$$

因此

$$A=n+f.$$

再代回第一式：

$$B=n^2-n(n+f)=-nf.$$

截头锥到长方体的挤压矩阵由此得到：

$$M_{\mathrm{persp}\rightarrow\mathrm{ortho}} = \begin{pmatrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}.$$

这个结果可以逐项检查：

• 在近平面 $z=n$ 上，$x'=x$、$y'=y$、$z'=n$，整个近平面保持不变；
• 在远平面 $z=f$ 上，$x'=nx/f$、$y'=ny/f$，恰好把较大的远平面压到 $[l,r]\times[b,t]$；
• 位于近平面和远平面之间的点保持深度顺序，但深度不再线性变化。

透视矩阵先把原来的 $z$ 放进齐次分量 $w$，统一矩阵乘法之后再除以 $w$；远小近大的效果来自这次除法。

投影矩阵

完整透视投影先挤压，再做正交归一化：

$$M_{\mathrm{persp}} = M_{\mathrm{ortho}} M_{\mathrm{persp}\rightarrow\mathrm{ortho}}.$$

相乘得到

$$M_{\mathrm{persp}} = \begin{pmatrix} \frac{2n}{r-l}&0&-\frac{r+l}{r-l}&0\\ 0&\frac{2n}{t-b}&-\frac{t+b}{t-b}&0\\ 0&0&\frac{n+f}{n-f}&-\frac{2nf}{n-f}\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}.$$

对称视锥满足 $l=-r$、$b=-t$，第一、二行中的偏移项消失。取近平面左边界 $(l,y,n)$ 验证：

$$x_{ndc} = \frac{ \frac{2n}{r-l}l -\frac{r+l}{r-l}n }{n} =-1.$$

同理，$x=r$ 映射到 $1$，上下边界也分别映射到 $-1,1$。矩阵的不同写法经常只差符号、转置或规范深度范围；比较公式前必须先统一列向量与行向量、左右手系、相机朝向和 $n,f$ 的定义。

整个齐次矩阵乘以任意非零常数不会改变除法后的三维点。上面的推导矩阵产生 $w_c=z<0$；常见图形管线则要求可见点满足 $w_c>0$，并用 $-w_c\le x_c,y_c,z_c\le w_c$ 表示齐次裁剪范围。此时应把整个投影矩阵乘以 $-1$：

$$M_{\mathrm{persp}}^{(+w)} = -M_{\mathrm{persp}} = \begin{pmatrix} -\frac{2n}{r-l}&0&\frac{r+l}{r-l}&0\\ 0&-\frac{2n}{t-b}&\frac{t+b}{t-b}&0\\ 0&0&-\frac{n+f}{n-f}&\frac{2nf}{n-f}\\ 0&0&-1&0 \end{pmatrix}.$$

这样 $w_c=-z>0$，透视除法后的 NDC 完全不变。只修改最后一行会破坏比例关系，不能得到等价投影。

深度分布

挤压后的深度为

$$z'=(n+f)-\frac{nf}{z}.$$

再经过正交投影，规范深度为

$$z_{ndc} = \frac{n+f-\frac{2nf}{z}} {n-f}.$$

它含有 $1/z$，所以透视深度不是相机空间深度的线性缩放。求导可得

$$\frac{\mathrm dz_{ndc}}{\mathrm dz} = \frac{2nf}{(n-f)z^2}.$$

变化率与 $1/z^2$ 成正比：靠近相机时，同样的世界空间距离占用更多深度值；远处许多深度会挤在很小范围内。把近平面设得过近，会把大量精度浪费在相机附近，使远处近乎共面的表面更容易发生 z-fighting。提高远平面距离的影响通常没有把近平面推近那么剧烈。

不同 API 会把规范深度映射到 $[-1,1]$ 或 $[0,1]$，也可能使用 reversed-Z 改善浮点深度精度。这些选择改变矩阵系数，却不改变深度来自 $1/z$ 的根本原因。

视场参数

对称视锥常用垂直视场角 $\operatorname{fovY}$、宽高比 $a=W/H$ 与近平面距离 $|n|$ 定义。观察 $yz$ 截面，半个视场形成直角三角形：

$$\tan\frac{\operatorname{fovY}}2 = \frac{t}{|n|}.$$

因此

$$t=|n|\tan\frac{\operatorname{fovY}}2, \qquad b=-t.$$

又因为近裁剪面宽高比与屏幕一致，

$$a=\frac{r-l}{t-b} = \frac{2r}{2t} = \frac rt,$$

所以

$$r=at, \qquad l=-r.$$

视场越大，近裁剪面在同一距离处越宽，物体在屏幕中越小。近平面不能取零，因为此时相似三角形比例和透视除法都失去意义。推导中的角度按弧度参与三角函数；若接口接收 degree，应先转换为

$$\operatorname{fovY}_{\mathrm{rad}} = \operatorname{fovY}_{\mathrm{deg}}\frac{\pi}{180},$$

再传给 $\tan$，不要把 degree 数值直接当作弧度。

裁剪除法

MVP 变换 Model–View–Projection Transformation 按从右到左的顺序作用于列向量：

$$\mathbf p_{\mathrm{clip}} = M_{\mathrm{proj}} M_{\mathrm{view}} M_{\mathrm{model}} \mathbf p_{\mathrm{local}}.$$

采用常见的 $w_c>0$ 齐次裁剪规则时，这里的 $M_{\mathrm{proj}}$ 应取前文整体乘 $-1$ 后的 $M_{\mathrm{persp}}^{(+w)}$；若使用具体图形 API，则以该 API 的手性、NDC 深度范围和裁剪约定替换，投影矩阵与裁剪规则必须成套一致。

结果 $\mathbf p_{\mathrm{clip}}=(x_c,y_c,z_c,w_c)^T$ 仍是 裁剪坐标 Clip Coordinates。图元应在这一阶段对视锥边界裁剪；若三角形跨过近平面，直接对三个顶点分别除法会得到越过无穷远的错误形状。

裁剪后执行 透视除法 Perspective Divide：

$$(x_{ndc},y_{ndc},z_{ndc}) = \left( \frac{x_c}{w_c}, \frac{y_c}{w_c}, \frac{z_c}{w_c} \right).$$

矩阵变换作用于齐次坐标，透视除法使最终映射成为非线性投影。MVP 常被口头称为一个变换矩阵，但完整流程还包含裁剪和除法，二者不能省略或随意交换顺序。

视口变换

规范设备坐标 Normalized Device Coordinates 的 $x,y\in[-1,1]$ 还要通过 视口变换 Viewport Transformation 映射到宽 $W$、高 $H$ 的屏幕连续区域：

$$x_s=\frac{W}{2}(x_{ndc}+1), \qquad y_s=\frac{H}{2}(y_{ndc}+1).$$

只写屏幕平面映射时，对应齐次矩阵为

$$M_{\mathrm{viewport}} = \begin{pmatrix} W/2&0&0&W/2\\ 0&H/2&0&H/2\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

课程的约定把近、远平面分别映射到 $z_{ndc}=1,-1$。若深度缓冲希望近处为 0、远处为 1，可再令

$$d=\frac{1-z_{ndc}}2.$$

不同 API 也可能使用另一 NDC 范围或 reversed-Z，比较方向必须随约定一起改变。像素 $(x,y)$ 的中心位于 $(x+0.5,y+0.5)$。只给屏幕 $x,y$ 只能确定一条相机射线，无法唯一逆变换到 3D 点，因为还缺少深度和齐次信息；给定深度以及完整的投影、视图约定后，才能执行反投影 unprojection。视口阶段的 $z$ 映射只服务深度比较和深度缓冲，不参与屏幕平面位置的恢复。哪些像素被三角形覆盖、每个样本的属性如何插值，属于后续光栅化阶段。