计算机图形学-06：几何表示

表示选择

几何表示服务于具体查询。渲染需要快速采样表面与求交，碰撞检测关心内外和距离，编辑系统需要局部控制，流体模拟还要允许拓扑变化。不存在对所有任务都最优的表示。

表示方法大致分为两类：

• 隐式表示 Implicit Representation 通过关系 $f(x,y,z)=0$ 定义表面，通常容易做内外测试和求交，却不一定容易枚举表面点。
• 显式表示 Explicit Representation 直接列出点、网格连接，或给出参数映射 $\mathbf p=f(u,v)$，通常容易采样，内外判断可能更复杂。

纹理也可以表示一个与几何相关的场，但不能把它和几何表面混为一谈。立方体贴图 Cube Map 把六张纹理放在立方体的六个面上，用从中心出发的方向向量选择面和二维坐标，常用于环境光、反射和天空盒。它保存的是方向上的颜色采样，不定义可碰撞的表面；反射光线改变方向后重新查表，就能得到环境的近似外观。

代数曲面

球面可以写成

$$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-R^2=0.$$

$f<0$、$f=0$、$f>0$ 可分别表示内部、表面和外部。更高次多项式能表达环面等复杂形状，解析形式紧凑、精确，也便于把光线方程代入求交；但多项式阶数上升后，建模和求根会迅速变难。

实体构造

构造实体几何 Constructive Solid Geometry 使用简单实体和布尔运算搭建复杂物体：

• 并集 $A\cup B$；
• 交集 $A\cap B$；
• 差集 $A\setminus B$。

一个 CSG 模型可组织成树，叶节点是基础实体，内部节点是布尔运算。它保留了高层结构，适合机械零件等规则造型。若最终渲染器只接受三角网格，还需要把布尔结果转换为显式表面。

距离函数

有符号距离函数 Signed Distance Function 定义点到表面的最短距离，并用正负区分内外：

$$d(\mathbf x)= \begin{cases} -\operatorname{dist}(\mathbf x,S),&\mathbf x\text{ 在内部},\\ 0,&\mathbf x\in S,\\ \operatorname{dist}(\mathbf x,S),&\mathbf x\text{ 在外部}. \end{cases}$$

零等值面 $d(\mathbf x)=0$ 就是目标表面。若约定内部为负，两个形状的布尔组合可以写成

$$d_{A\cup B} = \min(d_A,d_B),$$

$$d_{A\cap B} = \max(d_A,d_B),$$

$$d_{A\setminus B} = \max(d_A,-d_B).$$

这些硬 min/max 公式取的是两个场的下包络或上包络：并集由 $\min$ 选择离外部更近的分支，交集由 $\max$ 选择同时满足约束的分支，差集先反转被减去的场再取 $\max$。它们能正确给出布尔结果的符号与零等值面，但在切换曲面处通常不可微；交界附近的数值也未必仍等于到新表面的精确欧氏距离。

在可微且最近表面点唯一的区域，真正的 SDF 满足 Eikonal 条件

$$\lVert\nabla d\rVert=1.$$

因此表面法线可由

$$\mathbf n = \frac{\nabla d} {\lVert\nabla d\rVert}$$

得到。尖角、多个最近点组成的中轴和离散采样位置上，距离函数可能不可微，数值梯度也只近似满足该条件。

距离融合

两个距离场可以直接做线性插值：

$$d_t(\mathbf x) = (1-t)d_0(\mathbf x) +td_1(\mathbf x), \qquad t\in[0,1].$$

新形状由零等值面 $d_t(\mathbf x)=0$ 定义。先看一维移动边界。边界从 $x=a$ 移到 $x=b$，两端 signed distance 为

$$d_0(x)=x-a, \qquad d_1(x)=x-b.$$

线性融合后

$$\begin{aligned} d_t(x) &=(1-t)(x-a)+t(x-b)\\ &=x-[(1-t)a+tb]. \end{aligned}$$

令 $d_t(x)=0$，新边界位于

$$x_t=(1-t)a+tb,$$

恰好按相同参数线性移动。三维中同样可以在方形、圆形等完全不同形状的 signed distance 之间生成连续 morph。

融合边界上的点通常不在任一原边界上。它可能位于第一个形状外部，满足 $d_0>0$，同时位于第二个形状内部，满足 $d_1<0$，正负加权后抵消为零。若某点对两个形状都在外部，两个距离都为正，普通正权重线性插值当然不可能得到零。

线性融合描述的是形状插值，与并集的 $\min(d_0,d_1)$ 含义不同。它直接插值两个标量场，因此会把两个场的梯度也按权重相加；形状差异较大时，零等值面可能出现收缩、鼓包或拓扑变化，而不是沿某条几何路径运动。

若要把两个相交物体的连接处变圆，可使用 smooth-min 一类平滑并集。取过渡宽度 $k>0$，一个常见的多项式形式是

$$h=\max\left(\frac{k-|a-b|}{k},0\right), \qquad \operatorname{smin}_k(a,b) =\min(a,b)-\frac{k h^3}{6}.$$

其中 $k$ 控制 $a\approx b$ 附近的过渡带宽度。它把硬下包络的折线切换替换成一段圆滑的连接，几何上相当于对并集交界附近做圆角化；增大 $k$ 会让圆角和形态变化更明显，也可能填平窄缝或改变局部拓扑。也可使用 log-sum-exp 等平滑近似，但平滑参数、零等值面位置和数值稳定性需要一起校准。

无论线性融合还是 smooth-min，结果一般不再是严格 Euclidean SDF，因此 $\lVert\nabla d\rVert$ 未必等于 1。梯度长度偏离 1 会影响法线归一化，也会破坏 Sphere Tracing 把 $d$ 当作安全步长的保证：梯度过大时可能跨过表面，梯度过小时步长过于保守。实际实现应使用保守缩放或 Lipschitz 上界限制步长，并在需要时重新初始化距离场；数值法线也应按局部采样尺度计算，不能假设混合场仍具有精确距离语义。

Distance Blending 融合的是整个标量场，最终表面仍然只是“融合后函数等于零”的位置。

Sphere Tracing 沿归一化光线

$$\mathbf x(t)=\mathbf o+t\mathbf d, \qquad \lVert\mathbf d\rVert=1$$

前进。若当前点在形状外，迭代为

$$t_{k+1} = t_k+d(\mathbf x(t_k)).$$

$d(\mathbf x(t_k))$ 是当前点到任意表面点的最短距离，以当前位置为球心、该距离为半径的开球中不可能有表面。沿任意方向移动不超过这个半径都不会穿过交点，所以这一整步是安全的。

当 $d$ 小于容差时可认为命中；超过最大距离或最大步数则结束。一般隐式函数 $f(\mathbf x)=0$ 的数值没有距离意义，直接把 $f$ 当步长可能越过表面。若方向未归一化，参数 $t$ 也不再等于实际距离，更新量必须相应换算。

零等值面足以定义形状；只有真实距离或已知安全下界，才能直接保证 Sphere Tracing 不跨过表面。

等值面

复杂隐式函数可以只在规则网格上存储离散值，再由插值重建连续场。满足

$$f(\mathbf x)=c$$

的点构成 等值集 Level Set。医学 CT、MRI 的密度场可以抽取组织边界；流体模拟也常用有符号距离记录液体与空气的界面。Marching Cubes 等算法能把等值面转换为三角网格。

网格分辨率决定可表达的最小细节，离散场还需要重初始化或其他数值处理，才能长期保持良好的距离性质。

分形

分形在多个尺度上重复相似结构，能描述海岸线、植物和地形等自然形态。递归规则或噪声函数可以生成极丰富的细节，但参数与最终形状之间缺少直观的局部控制。无限细节也意味着显示时必须按像素尺度过滤，否则会产生严重混叠。

参数曲面

参数曲面 Parametric Surface 把二维参数域显式映射到三维：

$$\mathbf p(u,v)= \begin{pmatrix} x(u,v)\\y(u,v)\\z(u,v) \end{pmatrix}.$$

给定 $(u,v)$ 就能直接得到表面点和切向量，因此采样和纹理映射很自然；但给定任意空间点，判断它是否在封闭曲面内部通常没有简单公式。一个形状可能需要多个参数片覆盖，并在片之间处理接缝和连续性。

两个参数方向的偏导数给出局部切向量：

$$\mathbf p_u = \frac{\partial\mathbf p}{\partial u}, \qquad \mathbf p_v = \frac{\partial\mathbf p}{\partial v}.$$

只要二者不平行，表面法线为

$$\mathbf n = \frac{ \mathbf p_u\times\mathbf p_v }{ \lVert\mathbf p_u\times\mathbf p_v\rVert }.$$

叉积接近零说明参数化在该处退化，法线和纹理微分都会变得不稳定。

与几何位移相关的纹理也要区分层次。凹凸贴图 Bump Mapping 只改变着色时使用的局部法线，不改变实际顶点、轮廓或碰撞几何；位移贴图 Displacement Mapping 则沿法线移动真实表面，需要足够的细分或自适应曲面求值，才能把高频细节反映到轮廓和阴影中。前者便宜但掠射角和遮挡关系仍来自原表面，后者更真实却会增加几何和求交成本。

点云

点云 Point Cloud 直接保存大量三维点，可附带颜色、法线和置信度。它是扫描仪与多视图重建的自然输出，表示任意拓扑也不需要显式连接关系。

点云没有定义点之间的表面，采样不足时会出现孔洞，也难以直接执行平滑、细分和物理模拟。若每个像素投影范围内有充足点，可以用 splatting 等方式直接渲染；更常见的流程是先估计法线和邻域，再重建网格。

多边形网格

多边形网格 Polygon Mesh 由顶点、边和面组成，三角网格最常见。它显式记录连接关系，便于光栅化、局部编辑、细分和碰撞检测。除了位置，顶点或面还可携带法线、UV、颜色和材质索引。

共享顶点能节省存储并表达邻接，但硬边、UV 接缝或不同材质边界常需要逻辑上重复顶点，让同一空间位置拥有不同属性。实际数据结构还要支持从顶点查邻面、从边查两侧面等拓扑查询，Half-Edge 是常见选择。

Half-Edge 将一条无向边拆成两个相反方向的半边，并为每个半边保存 twin、next、所属 face 和起点 vertex。沿 next 可以遍历一个面的边界，沿 twin 可以跳到相邻面，因此顶点一环邻域、边两侧面和边界状态都能在局部常数步操作中查询。Loop 或 Catmull–Clark 细分、边折叠和局部法线更新都依赖这类邻接访问；边界边没有有效的另一侧时，通常让 twin 指向边界哨兵，避免把不存在的面当作普通邻域。

OBJ 格式

Wavefront OBJ 是简单的文本格式。常见记录包括：

• v x y z：顶点位置；
• vt u v：纹理坐标；
• vn x y z：顶点法线；
• f v/vt/vn ...：面的索引组合。

f 可以列出三角形，也可以列出四边形等多边形；例如四边形面可写成四组索引。由于光栅化和多数求交器以三角形为基本单元，导入时通常要把四边形三角化。非平面或凹四边形的对角线并不唯一，选择不同对角线可能改变插值、法线和轮廓，因此不能只按文件顺序盲目拆分。

位置、UV 和法线使用彼此独立的索引，而许多渲染 API 要求每个顶点只有一个统一索引。导入时通常需要按索引三元组拆分顶点。三角网格中，内部边通常恰好被两个三角形共享，边界边只被一个三角形使用；若一条边连接超过两个面，则是非流形连接，三角化和细分都需要额外处理。OBJ 便于交换静态几何，但不擅长保存骨骼、动画和复杂场景层级。

表示转换

隐式转显式需要在空间中找到零等值面，显式转隐式则要构造占据场或距离场。转换通常会引入采样误差，也可能改变拓扑。实践中经常混合表示：用三角网格渲染外表面，用 SDF 做碰撞和布尔运算，用纹理或体素保存局部细节。选择标准应是目标操作是否稳定、高效，而不是表示名称是否统一。