计算机图形学-09：光传输与路径追踪

辐射度量

经验着色模型里的光强常常只是一个没有单位的数。它可以帮助我们做出合理的明暗，却不能回答“这份光在时间、方向和面积上如何分布”。要把材质响应和光传播写成可以核对单位的方程，需要辐射度量学 Radiometry。

辐射度量从一个基本区分开始：一块太阳能板照得越久，累计吸收的能量越多，但场景的瞬时亮度不会随时间无限增加。因此照明计算通常研究单位时间的功率，并继续区分功率朝哪些方向传播、落在多大面积上，以及沿哪条光线传播。

辐射能量与通量

辐射能量 Radiant Energy 是电磁辐射携带的能量，记作 $Q$ ，单位是焦耳（J）。它会随时间累积。

辐射通量 Radiant Flux 是单位时间传输的能量，也称功率（Power）：

$\Phi=\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}.$

单位是瓦特（W）。 $\Phi$ 只描述总功率，不说明方向和面积。照明工程使用的光度学 Photometry 还会按人眼对不同波长的敏感程度加权，得到以流明（lumen, lm）计的光通量。辐射通量和光通量采用不同测量规则，不能直接把 lm 当成 W 的另一种写法；后面的 W/sr 与 candela、W/m² 与 lux 也应作同样区分。

例如一个灯泡可以把相同总功率集中到一个窄角度，也可以均匀地向整个空间发光。两者的通量相同，但某个方向上接收到的照明完全不同。因此接下来要先度量方向范围。

立体角

二维角度可以用圆弧长度除以半径定义。三维中，一个方向锥体在半径为 $r$ 的球面上截出面积 $A$ ，它张开的立体角 Solid Angle 为

$\Omega=\frac{A}{r^2}.$

单位是球面度 sr。由于球面面积随 $r^2$ 增长，立体角只表示方向范围，与选取的球半径无关；整个球面的立体角是 $4\pi$ ，半球是 $2\pi$ 。也可以把一个物体投影到以观察点为中心的单位球上，球面上被物体框住的面积就是它张开的立体角。

二维角度的弧度定义为 $l/r$ ，三维立体角是这个定义在空间中的延伸。用球坐标表示方向，极角为 $\theta$ ，方位角为 $\phi$ 。球面微元的两条边长近似为 $r\,\mathrm d\theta$ 和 $r\sin\theta\,\mathrm d\phi$ ，所以

$\mathrm dA=r^2\sin\theta\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi,$

$\mathrm d\omega=\frac{\mathrm dA}{r^2} =\sin\theta\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi.$

这里的 $\sin\theta$ 很重要：相同的 $\mathrm d\theta$ 在极点附近覆盖很小的球面面积，在赤道附近覆盖更大的面积。因此“按立体角均匀采样”不等于分别均匀采样 $\theta$ 和 $\phi$ 。一种均匀采样上半球的方式是取

$z=\cos\theta\sim U[0,1],\qquad \phi\sim U[0,2\pi),$

再令

$\boldsymbol\omega= \bigl(\sqrt{1-z^2}\cos\phi, \sqrt{1-z^2}\sin\phi,z\bigr).$

辐射强度

有了方向范围，就可以把通量按方向细分。辐射强度 Radiant Intensity 描述点光源向单位立体角发出的通量：

$I(\boldsymbol\omega)=\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm d\omega},$

单位是 W/sr。各向同性点光源在所有方向上的强度相同，因此

$I=\frac{\Phi}{4\pi}.$

强度描述的是源的方向分布，不是功率沿空间距离的衰减。现代灯具可能有明显的配光曲线，同样总通量的灯具在不同方向上的强度可以完全不同。

光源的方向分布

中心箭头长度和外围轮廓随方向改变，表示每单位立体角的功率可以不同。总通量相同的两个光源仍可能有不同配光，各向同性只是特殊情况。

例如一个标注为815 lumen的 LED 灯，若暂时假设各向同性发光，则其每个方向的光强近似为

$I=\frac{815\ \mathrm{lm}}{4\pi\ \mathrm{sr}} \approx65\ \mathrm{cd}.$

标注光通量的 LED 灯

包装上的 815 lumen 是发光通量，11 W 是电功率，二者含义不同。下面的 candela 换算只把 815 lumen 按各向同性假设平均分到 4π 立体角，不能从 11 W 直接得到可见光强。

这里的 candela 是 lumen/sr，数值来自各向同性假设；真实灯具的配光曲线可能使不同方向的强度不同。

严格区分时，W 与 W/sr 属于辐射量，lumen 与 candela 属于考虑人眼光谱响应的光度量；这个 815 lumen 的例子是在同一“总量除以 $4\pi$ ”结构下说明立体角归一化，不应把 65 candela 当成由 815 lumen 推出的辐射瓦特数。

辐照度

继续按面积细分，得到辐照度 Irradiance：

$E(\mathbf x)=\frac{\mathrm d\Phi(\mathbf x)}{\mathrm dA}.$

单位是 W/m $^2$ ；照明工程中流明每平方米叫 lux。辐照度描述实际接收表面单位面积得到多少功率，不取决于表面之后如何反射。这里的 $\mathrm dA$ 是接收表面的实际面积；当光线斜射时，固定截面的光束会摊到更大的实际表面面积上，因此单位面积接收的功率下降。投影面积的写法会在辐亮度的定义中单独出现。

Lambert 余弦项表示入射方向在表面上的投影

这就是 Lambert 余弦律：对一块固定实际面积 $A$ ，若正入射时接收的参考通量为 $\Phi$ ，入射方向与法线夹角为 $\theta$ 时，落到这块表面上的通量为 $\Phi\cos\theta$ ，于是

$E=\frac{\Phi\cos\theta}{A}.$

地球四季也受到同一个投影因素影响：太阳光越倾斜，同样的功率越摊到更大的地面面积上，单位面积接收的功率越小；日照时长、地轴倾角和大气条件也会共同影响季节温差。

对点光源，微分通量满足 $\mathrm d\Phi=I\,\mathrm d\omega$ 。面积元从光源看去张开的立体角为

$\mathrm d\omega=\frac{\cos\theta\,\mathrm dA}{r^2},$

于是

$E=\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dA} =\frac{I\cos\theta}{r^2}.$

这里的 $\cos\theta$ 来自接收面的投影， $1/r^2$ 来自球面面积增长，二者原因不同。两个同心球面接收相同总通量 $\Phi$ 时，半径为 $1$ 的球面上有 $E=\Phi/(4\pi)$ ，半径为 $r$ 的球面上有

$E'=\frac{\Phi}{4\pi r^2}=\frac{E}{r^2}.$

点光源照度中的平方反比项来自球面面积增长

图中同心圆表示半径不断增大的球面；总通量相同，外层球面面积按 $r^2$ 增长，所以单位面积得到的辐照度按 $1/r^2$ 下降。锥体张开的立体角没有变，变化的是同一功率在球面上的面积密度。

一个容易混淆的地方是：沿一个固定锥体传播时，锥体在不同距离处张开的立体角不变，因此辐射强度没有随距离衰减；变小的是功率除以越来越大面积得到的辐照度。着色模型中的 $1/r^2$ 属于辐照度，不应称为“强度衰减”。

辐亮度

把方向和投影面积两次细分合在一起，得到辐亮度 Radiance：

$L(\mathbf x,\boldsymbol\omega) =\frac{\mathrm d^2\Phi}{\mathrm dA^\perp\,\mathrm d\omega} =\frac{\mathrm d^2\Phi}{\cos\theta\,\mathrm dA\,\mathrm d\omega}.$

单位是 W/(m $^2\cdot$ sr)。它是渲染中沿光线传递的基本量：相机最终记录到的是到达镜头的辐亮度，表面计算的是离开表面的辐亮度。

在真空、没有吸收和散射、没有额外发光并且没有遮挡的直线传播中，辐亮度沿光线保持不变。更具体地，对同一束相似的微分光束，传播距离增加时横截面的投影面积按 $r^2$ 增长，而这块固定几何邻域从另一端张开的立体角按 $1/r^2$ 减小；在 $\mathrm dA^\perp\,\mathrm d\omega$ 的乘积中二者抵消。一个固定方向锥体的立体角本身并不随距离变小，变小的是功率摊到球面面积后得到的辐照度。辐照度是某个面收到的总功率密度，会受距离和入射角影响；辐亮度保留方向信息，适合沿路径传递。

辐亮度也可以看成辐照度再按立体角细分，或辐射强度再按投影面积细分。来自一个微分方向的入射辐照度为

$\mathrm dE=L_i(\mathbf x,\boldsymbol\omega_i)\cos\theta_i\,\mathrm d\omega_i.$

对整个入射半球积分：

$E(\mathbf x)=\int_{\Omega^+} L_i(\mathbf x,\boldsymbol\omega_i) \cos\theta_i\,\mathrm d\omega_i.$

约定 $\boldsymbol\omega_i$ 和 $\boldsymbol\omega_o$ 都从表面点向外指。 $L_i(\mathbf p,\boldsymbol\omega_i)$ 表示从该方向到达表面的辐亮度， $L_o(\mathbf p,\boldsymbol\omega_o)$ 表示沿该方向离开表面的辐亮度。固定这个约定后，法线点积、半球范围和后续的 BRDF 参数才不会混乱。

BRDF

表面把入射能量分配到出射方向的规律由双向反射分布函数 Bidirectional Reflectance Distribution Function, BRDF 描述。来自 $\boldsymbol\omega_i$ 的微分辐照度是

$\mathrm dE_i=L_i(\boldsymbol\omega_i)\cos\theta_i\,\mathrm d\omega_i.$

BRDF 定义为

$f_r(\boldsymbol\omega_i\to\boldsymbol\omega_o) =\frac{\mathrm dL_o(\boldsymbol\omega_o)} {\mathrm dE_i(\boldsymbol\omega_i)} =\frac{\mathrm dL_o(\boldsymbol\omega_o)} {L_i(\boldsymbol\omega_i)\cos\theta_i\,\mathrm d\omega_i}.$

BRDF 的单位是 sr $^{-1}$ 。它是一个分配比例，不是最终颜色；最终出射辐亮度还取决于入射辐亮度和积分范围。理想镜面把能量集中到单一方向，可以用 Dirac delta 分布表示；普通方向采样命中这个方向的概率为0，但它的积分可以非零。粗糙金属和釉面陶瓷的反射集中在有限宽度的反射瓣 Reflection Lobe，这就是 glossy 反射。

镜面反射把能量集中在单一方向，glossy 反射则分布在有限宽度的反射瓣内

图中清晰的茶壶轮廓表示窄反射瓣，模糊且展宽的轮廓表示较宽的 glossy 反射瓣。查询一个方向的镜面反射不能代表宽瓣材质，后者必须对一段方向范围累加贡献。

一个可用的反射模型至少要满足非负性和互易性：

$f_r(\boldsymbol\omega_i\to\boldsymbol\omega_o)\ge0,$

$f_r(\boldsymbol\omega_i\to\boldsymbol\omega_o) =f_r(\boldsymbol\omega_o\to\boldsymbol\omega_i).$

透射材质不能只用反射 BRDF，应使用同时包含反射和透射的 BSDF，并按相应测度、法线约定和折射率处理 PDF 与能量。

反射方程

一个表面点沿观察方向反射的辐亮度，是入射半球上所有方向贡献的总和：

$L_r(\mathbf p,\boldsymbol\omega_o) =\int_{\Omega^+} f_r(\mathbf p,\boldsymbol\omega_i,\boldsymbol\omega_o) L_i(\mathbf p,\boldsymbol\omega_i) \cos\theta_i\,\mathrm d\omega_i.$

被积函数的三个因子分别对应入射光的辐亮度、表面对方向的响应，以及投影面积的余弦因子。一个点光源可以看成单项贡献；多个点光源可以求和；面光源则占据一片方向范围，求和在极限下变成积分。

反射方程只说明一次表面响应。如果入射辐亮度来自另一个表面的反射，那么还需要在另一个点继续求解，这使问题变成全局递归耦合。

渲染方程

如果表面自身会发光，在反射方程中加入自发光项 $L_e$ ：

$L_o(\mathbf p,\boldsymbol\omega_o) =L_e(\mathbf p,\boldsymbol\omega_o) +\int_{\Omega^+} f_r(\mathbf p,\boldsymbol\omega_i,\boldsymbol\omega_o) L_i(\mathbf p,\boldsymbol\omega_i) \cos\theta_i\,\mathrm d\omega_i.$

这就是渲染方程 Rendering Equation。它由 Kajiya 在《The Rendering Equation》中提出；早期中文资料也把 rendering 译作绘制，因此有“绘制方程”的旧称。它描述表面一点沿某个出射方向的全部光：一部分来自自身发光，另一部分来自所有入射方向的反射。

渲染方程把自发光与所有方向的反射贡献相加

图中观察方向指向相机，入射方向来自上半球；另一表面微元沿连线提供入射辐亮度。自发光项是已知输入，另一表面的出射辐亮度又依赖别处的渲染方程，因此未知量同时出现在方程两侧。

可见性

只计算直接光照时，光源与着色点之间的可见性决定光源贡献是否存在。沿 $\boldsymbol\omega_i$ 从 $\mathbf p$ 发射射线，设最近交点为 $\mathbf p'$ ，忽略参与介质时可以写成

$L_i(\mathbf p,\boldsymbol\omega_i) =V(\mathbf p,\mathbf p')L_o(\mathbf p',-\boldsymbol\omega_i).$

$V$ 是可见性函数，无遮挡时为1，有遮挡时为0。若 $\mathbf p'$ 已经是沿该方向的最近交点，通常它与 $\mathbf p$ 之间没有别的遮挡， $V=1$ ；若显式连接任意两个表面点，则仍需发射阴影光线检查中间是否有遮挡。

只计算直接光照时，光源到可见表面的可见性决定最终亮度

图中被天空或光源直接照到的石板和柱子较亮，走廊和墙面遮挡出的区域接近黑色；同一个着色点若只靠间接光照才能接收能量，直接光照版本不会把它点亮。

算子与弹射

把可见性、几何关系和表面反射合并为光传输算子 $K$ ，把自发光记作 $E$ ，渲染方程可以抽象成

$L=E+KL.$

若把空间位置和方向离散成有限状态， $L$ 与 $E$ 可以看作向量， $K$ 可以看作矩阵：

$L_i=E_i+\sum_jK_{ij}L_j.$

经典 Radiosity 进一步假设表面是漫反射，把方向依赖消去后只求解面片之间的能量；一般的“位置和方向离散”不应都称为 Radiosity。

移项得到

$(I-K)L=E.$

若逆算子存在且级数收敛，形式上可以展开为 Neumann 级数：

$L=(I-K)^{-1}E =E+KE+K^2E+K^3E+\cdots.$

$E$ 是自发光， $KE$ 是光源经一次表面反射后到达相机的贡献， $K^2E$ 是两次反射，依此类推。零次弹射表示相机直接看到光源；一次弹射对应通常所说的直接光照；两次及以上的项组成间接光照；直接光照与全部间接光照合在一起就是全局光照。

级数收敛需要反复传输后的贡献衰减，吸收和能量逸出通常会帮助收敛。完全封闭、无损的理想场景可能使算子谱半径达到1，不能不加条件地声称任意场景都能按几何级数收敛。

路径经过 16 次反弹后仍可把间接光和颜色传递到相机

图中允许更多反弹后，柱间暗部、墙面和吊灯附近出现来自其他表面的反射光；红色表面附近的浅色区域被染红，说明高阶传输不仅增加亮度，也传递颜色。

增加允许的弹射次数时，原本直接光照覆盖不到的区域会被间接光照亮，红墙附近的浅色表面会出现颜色互染 Color Bleeding。反弹次数从8增加到16通常只带来较小变化，因为能量已经接近稳定；这与相机长时间打开快门导致过曝不同，前者是单位时间的稳态照明，后者是时间上累积到达传感器的能量。

概率与期望

连续随机变量 $X$ 用概率密度函数 Probability Density Function, PDF 描述。PDF 必须满足

$p(x)\ge0,\qquad \int p(x)\,\mathrm dx=1.$

PDF 是密度而不是某个点的概率，因此单点数值可以大于1；只有在一个区间上积分后才得到该区间的概率。

某个小区间的概率是 PDF 在该区间上的面积，而不是曲线在某个点的高度。随机变量函数的期望为

$\mathbb E[f(X)]=\int f(x)p(x)\,\mathrm dx.$

离散随机变量则把积分换成求和。均匀骰子的期望是

$\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5.$

蒙特卡洛积分

渲染方程中的积分通常很难写出解析原函数。蒙特卡洛积分 Monte Carlo Integration 用随机样本估计定积分。若

$I=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx,$

先回到熟悉的 Riemann 积分直觉：把 $[a,b]$ 分成许多小区间，在每个区间取一个样本 $x_i$ ，用高度 $f(x_i)$ 、宽度为区间长度的矩形近似曲线下面积。均匀随机采样时，也可以把每个样本看成一个宽度为 $(b-a)$ 的随机矩形，再对矩形面积取平均：

$I\approx\frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^{N}f(X_i).$

这个均匀公式其实已经是一般 $f/p$ 公式的特例。若在 $[a,b]$ 上使用常数 PDF $p(x)=C$ ，归一化条件给出

$\int_a^b C\,\mathrm dx=1 \quad\Longrightarrow\quad C=\frac1{b-a}.$

因此 $f(X_i)/p(X_i)=(b-a)f(X_i)$ ，恰好恢复上面的矩形面积平均。先理解这个特殊情形，再推广到任意 PDF，可以看清分母 $p$ 的来源。

从 PDF $p(x)$ 采样 $X_i$ ，则估计量为

$\hat I_N=\frac1N\sum_{i=1}^{N}\frac{f(X_i)}{p(X_i)}.$

这是因为

$\mathbb E\left[\frac{f(X)}{p(X)}\right] =\int\frac{f(x)}{p(x)}p(x)\,\mathrm dx =\int f(x)\,\mathrm dx.$

只要 $f(x)\ne0$ 的区域都有 $p(x)>0$ ，并且期望存在，估计就是无偏的。无偏 Unbiased 不表示一次样本等于真值，只表示重复取样的平均期望等于真值。独立样本方差满足

$\operatorname{Var}[\hat I_N] =\frac{\operatorname{Var}[f(X)/p(X)]}{N},$

因此标准差按 $1/\sqrt N$ 下降，噪声减半通常需要约四倍样本。积分在哪个变量上定义，就必须从同一个变量的 PDF 采样；如果积分建立在面积域，不能直接拿方向域样本代入。

选择更贴近被积函数的 PDF，可以在相同样本数下降低方差，这叫重要性采样 Importance Sampling。它不改变积分的真值，只改变样本分布和权重。PDF 过低但贡献很大的区域会产生高能量样本和噪声，因此采样分布的支持域和权重必须同步正确。

积分面积与均匀 PDF

上图浅蓝区域是待求积分，曲线高度随位置改变；下图均匀 PDF 的高度为 1/(b−a)，矩形面积为 1。各位置被等概率采到，所以把高度的样本平均乘区间长度，就得到面积估计。

路径追踪

Whitted-style 追踪把理想镜面反射/折射继续递归，却在漫反射表面停止。它对纯镜面材质合理，对 glossy 材质却只沿一条理想镜面方向查询，无法覆盖有限宽度的反射瓣；对漫反射表面停止，也会漏掉漫反射表面之间的互相照明。

Cornell Box 的直接光照结果中，顶部光源照不到的天花板和墙面很暗；加入全局光照后，地板和红墙的反射会把能量与颜色带到其他表面，这正是路径追踪要恢复的多次传输。

直接光与全局光

左图顶部光源照不到的天花板和侧墙较暗；右图允许漫反射表面继续传输，红墙的颜色进入附近表面，暗处也获得间接照明。两幅图几何不变，变化的是表面间的多次反射。

把 Monte Carlo 估计直接应用到反射方程，就得到路径追踪。若在法线所在半球上均匀按立体角采样，

$p(\boldsymbol\omega_i)=\frac1{2\pi}.$

反射方程的估计为

$L_r(\mathbf p,\boldsymbol\omega_o) \approx\frac1N\sum_{k=1}^{N} \frac{f_r(\boldsymbol\omega_k,\boldsymbol\omega_o) L_i(\boldsymbol\omega_k)\cos\theta_k} {p(\boldsymbol\omega_k)}.$

下面先只计算直接光，假设光源是有限面积的发光表面。半球样本的 PDF 必须按立体角定义：

DirectHemisphere(p, wo, N):
    sum = 0
    重复 N 次：
        从 p 的上半球采样 wi，记录 pdfOmega
        q = 沿 wi 的最近场景交点
        若 q 是发光表面：
            sum += Le(q, -wi) * fr(p, wi, wo) * cosine / pdfOmega
    返回 sum / N

cosine 是 max(0, n·wi)。未命中光源的方向在这个直接光版本中返回零；它们可能包含间接光，下一步要继续求解。
对 Lambertian 表面可以使用余弦加权采样

$p(\boldsymbol\omega)=\frac{\cos\theta}{\pi},$

它会减少样本落在掠射方向的比例，并与被积函数中的余弦因子部分抵消。均匀采样和余弦加权都可以无偏，但方差不同。

Whitted 风格在漫反射表面停止，无法得到漫反射表面之间的互相照明。路径追踪在每个交点都按 BSDF 或 BRDF 采样一个新的方向，因此一条样本路径可以经过漫反射、镜面或折射表面继续前进。每个反弹点只保留一条后继光线，是为了避免每层都发射 $N$ 条光线导致 $N^{depth}$ 爆炸；更多路径通过增加每像素样本数获得。

多分支射线增长

第一层发出 100 条射线，每条再发 100 条便得到 10,000 条，再下一层达到 1,000,000 条。每层只继续一条随机后继时，一条路径仍是一条折线，更多样本改由更多路径提供。

对每个像素：
    累积值设为零
    在像素内部选取 N 个位置
    对每个位置：
        生成一条相机光线
        累积该路径的辐亮度估计
    把累积值除以 N，得到像素平均

令 $\boldsymbol\beta$ 表示从相机走到当前交点的累计路径权重，初始为1。若在交点 $\mathbf x_k$ 采样新方向 $\boldsymbol\omega_{k+1}$ ，采样 PDF 为 $p_k$ ，则

$\boldsymbol\beta_{k+1} =\boldsymbol\beta_k \frac{f_r(\mathbf x_k,\boldsymbol\omega_{k+1},\boldsymbol\omega_k) \max(0,\mathbf n_k\cdot\boldsymbol\omega_{k+1})} {p_k(\boldsymbol\omega_{k+1})}.$

当路径命中发光表面时，像素得到的贡献为

$\boldsymbol\beta_kL_e(\mathbf x_k,\boldsymbol\omega_k).$

对不透明表面，采样方向应位于法线同侧；若使用包含透射的 BSDF，需要按相应的绝对余弦、折射率和测度处理。路径追踪还会自然产生颜色互染：有色表面反射的光会改变邻近表面的照明颜色。

路径深度还会影响透明物体后的发光贡献。一个灯罩或玻璃球可能要求光线先进入再穿出多个界面，允许的反弹次数过少时，灯体的贡献会暂时消失；增加深度后它才会出现。具体所需次数取决于场景几何和实现对“首交点/透射界面”的计数方式，不能把某个示例中的固定次数推广到所有透明物体。

这里的 path tracing 是更广义 ray tracing 方法集合中的一种。Whitted-style 沿确定的镜面方向递归；单向 path tracing 从相机端随机走向光源；双向 path tracing（BDPT）同时从相机和光源端生成路径；photon mapping、Metropolis Light Transport（MLT）、Vertex Connection and Merging（VCM）以及 UPBP 等方法，则用不同的路径连接、密度估计或马尔可夫采样策略处理难以命中的光路。它们共同目标都是估计同一个光传输方程，只是采样和连接方式不同。

把非光源交点继续递归，便得到一般的多分支估计。以下 depth 只是临时预算，确定性截断的偏差随后由随机终止处理：

ShadeBranch(p, wo, N, depth):
    若 depth == 0，返回 0
    sum = 0
    重复 N 次：
        采样 wi，记录 pdfOmega
        q = 沿 wi 的最近交点
        若无交点，Li = 0
        否则若 q 发光，Li = Le(q, -wi)
        否则 Li = ShadeBranch(q, -wi, N, depth - 1)
        sum += Li * fr(p, wi, wo) * cosine / pdfOmega
    返回 sum / N

令 N=1 后，每个顶点只生成一个后继，一次估计是一条路径。每像素多次调用这种单路径估计，再平均，仍可以收敛到同一个积分。这里省略环境光及理想镜面 delta 分支，不能把它当成支持任意材质的完整渲染器。

像素采样与噪声

一个像素代表一小块成像平面，而不是一个数学点。可以在像素内部随机选择多个位置，从相机穿过这些位置发射主光线，再平均所有路径的辐亮度。每像素路径样本数称为 Samples Per Pixel, SPP。

像素采样不仅用于抗锯齿，还可以同时近似镜头孔径、时间和后续光路的积分。低 SPP 时图像有颗粒，高 SPP 时统计平均更稳定；这种颗粒是有限样本的方差，不是几何边缘的锯齿。

路径终止

真实光线没有固定最大反弹次数。若程序强行在深度上限截断，所有更长路径的能量都会被系统性丢掉，图像通常偏暗。Russian Roulette 用随机终止把确定性截断偏差换成方差。

设继续概率为 $P\in(0,1)$ ，当前路径若继续得到的贡献为 $L_r$ ，则返回

$L= \begin{cases} L_r/P,&\text{以概率 }P,\\ 0,&\text{以概率 }1-P. \end{cases}$

其期望为

$\mathbb E[L]=P\frac{L_r}{P}+(1-P)0=L_r.$

幸存路径的 throughput 应同步除以 $P$ 。若把“额外成功继续的次数”记为 $K$ ，则

$\Pr(K=k)=(1-P)P^k,\qquad k=0,1,2,\dots,$

因此

$\mathbb E[K]=\frac{P}{1-P}.$

若把最后一次终止尝试也计入，总尝试次数为 $K+1$ ，其期望是 $1/(1-P)$ 。 $P=1$ 时路径不会按该规则终止，有限期望不成立。 $P$ 越小，路径越短、计算越省，但幸存路径权重越大、噪声越高。工程实现常令 $P$ 与当前 throughput 的最大通道相关，并限制在 $(0,1)$ 内。

单路径版本在继续前抽取一次随机数，幸存路径除以继续概率 P。若相机直接命中光源，应由相机光线入口返回 Le：

ShadeRR(p, wo):
    选择 0 < P < 1
    若 uniformRandom() >= P，返回 0
    采样 wi，记录 pdfOmega
    q = 沿 wi 的最近交点
    若无交点，Li = 0
    否则若 q 发光，Li = Le(q, -wi)
    否则 Li = ShadeRR(q, -wi)
    返回 Li * fr(p, wi, wo) * cosine / (pdfOmega * P)

光源采样

只从 BRDF 方向随机采样时，小面积光源在半球上占很小立体角，大量样本会打到非光源方向而得到零贡献。更有效的策略是直接在光源面积 $A$ 上均匀采样点 $\mathbf x'$ ：

$p_A(\mathbf x')=\frac1A.$

令着色点为 $\mathbf x$ ，光源点方向为

$\boldsymbol\omega_i=\frac{\mathbf x'-\mathbf x} {\lVert\mathbf x'-\mathbf x\rVert}.$

若光源法线为 $\mathbf n'$ ，光源微元朝着着色点的投影面积为

$\mathrm dA^\perp =\left|\mathbf n'\cdot(-\boldsymbol\omega_i)\right|\mathrm dA.$

它在着色点处张开的立体角为

$\mathrm d\omega_i =\frac{\left|\mathbf n'\cdot(-\boldsymbol\omega_i)\right|} {\lVert\mathbf x'-\mathbf x\rVert^2}\,\mathrm dA.$

这就是面积测度到立体角测度的 Jacobian。若需要立体角 PDF，需做相应转换：

$p_\omega(\boldsymbol\omega_i) =p_A(\mathbf x') \frac{\lVert\mathbf x'-\mathbf x\rVert^2} {\left|\mathbf n'\cdot(-\boldsymbol\omega_i)\right|}.$

定义

$\cos\theta=\max(0,\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i), \qquad \cos\theta'=\max(0,\mathbf n'\cdot(-\boldsymbol\omega_i)),$

则直接光照可写为光源面积上的积分：

$L_{dir} =\int_A L_e(\mathbf x'\to\mathbf x) f_r(\mathbf x,\boldsymbol\omega_i,\boldsymbol\omega_o) \frac{\cos\theta\cos\theta'} {\lVert\mathbf x'-\mathbf x\rVert^2} V(\mathbf x,\mathbf x')\,\mathrm dA.$

若按面积 PDF 采样一个光源点，单样本估计为

$\widehat L_{dir} =\frac{L_e(\mathbf x',-\boldsymbol\omega_i) f_r(\mathbf x,\boldsymbol\omega_i,\boldsymbol\omega_o) \cos\theta\cos\theta' V(\mathbf x,\mathbf x')} {\lVert\mathbf x'-\mathbf x\rVert^2p_A(\mathbf x')}.$

其中 $V$ 是可见性，光源与着色点之间无遮挡为1，被遮挡为0。实现时从着色点向采样光源点发射一条阴影光线，并把 $t_{max}$ 限制在光源距离内，防止把光源之后的物体误判为遮挡。

小光源更难被方向样本命中

三幅图保持半球方向范围不变，光源从左到右变小。红色方向样本大多没有指向光源，示意分别用约 5、500、50,000 条射线表达命中所需的数量级变化，具体比例由光源立体角决定。直接在蓝色光源区域采样可避免大量零贡献查询。

面积微元对应立体角

光源微元 dA 位于 x′，它朝向着色点 x 的投影由法线 n′ 与夹角 θ′ 决定；在以 x 为中心的方向半球上，它占据 dω。接收端另有法线 n 与夹角 θ，两端余弦分工不同，距离平方把投影面积换成方向范围。

被遮挡的光源样本

蓝色圆表示表面点与所选光源微元之间的遮挡物。即使面积 PDF 和几何权重都已正确计算，连接线段被挡住时，这个样本仍需返回零贡献；其他无遮挡光源样本不受影响。

把光源采样与半球采样分开，就是 Next-Event Estimation 的基本思想：光源项由面积采样直接估计，剩余方向继续承担间接光照。面积采样和 BSDF 采样各有擅长的区域，实际渲染器可以使用 Multiple Importance Sampling, MIS 组合它们。组合时必须先把两个 PDF 转到同一种测度，再用例如 balance heuristic 分配权重，避免同一条光路被重复计算。

若光源采样和 BSDF 采样在同一立体角测度下各取一个样本，PDF 分别为 $p_L$ 与 $p_B$ ，一个简单的 balance heuristic 为

$w_L=\frac{p_L}{p_L+p_B}, \qquad w_B=\frac{p_B}{p_L+p_B}.$

若策略 $i$ 各取 $n_i$ 个样本，多样本版本使用

$w_i(\mathbf x)=\frac{n_i p_i(\mathbf x)}{\sum_j n_jp_j(\mathbf x)}.$

它把两种策略对同一光路的贡献合并为一次估计；镜面 delta 事件和无法用普通连续 PDF 表示的路径仍需单独处理。

理想点光源在方向域是 delta 分布，连续半球随机采样命中它的概率为0。点光源应显式使用从着色点指向光源的唯一方向，或用足够小的面积光源近似；不能等待普通方向样本偶然命中。

直接光面积采样、遮挡测试和间接光方向采样可以合并为下面的版本。它假设不透明非 delta 材质与面积光源，不处理环境和透射：

ShadeNEE(p, wo):
    在面积光源上采样 x，记录 pdfArea
    计算 wi、距离 r、接收余弦和光源余弦
    Ldir = 0
    若 p 到 x 的有限线段无遮挡：
        Ldir = Le(x, -wi) * fr(p, wi, wo)
               * cosSurface * cosLight / (r * r * pdfArea)
    选择继续概率 P
    若 uniformRandom() >= P，返回 Ldir
    在半球采样新的 wi，记录 pdfOmega
    q = 沿 wi 的最近交点
    Lind = 0
    若 q 存在且不是光源：
        Lind = ShadeNEE(q, -wi) * fr(p, wi, wo)
               * cosine / (pdfOmega * P)
    返回 Ldir + Lind