计算机图形学-14：动画与运动学

时间采样

动画 Animation 把随时间变化的场景采样为离散帧序列。电影常用 24 fps，电视和交互内容也常见 30、60 fps 或更高。帧率只规定显示时刻的离散间隔

$$\Delta t=\frac1{\mathrm{fps}},$$

并不自动保证运动平滑。物体在相邻帧间位移过大时会产生时间混叠；快门时间决定单帧中是否通过运动模糊保留这段连续轨迹。

早期机械与手绘动画、关键帧和补间动画逐步发展到数字动画。现代制作仍保留相同基本结构：艺术家控制少量关键状态，系统生成中间状态，再配合物理模拟和动作捕捉处理难以逐帧制作的运动。

关键帧

关键帧动画 Keyframe Animation 在若干时刻 $t_i$ 指定参数 $\mathbf q_i$。最简单的线性插值为

$$\mathbf q(t) = (1-\alpha)\mathbf q_i+\alpha\mathbf q_{i+1}, \qquad \alpha=\frac{t-t_i}{t_{i+1}-t_i}.$$

它保证位置连续，但在关键帧处速度会突然改变。三次 Hermite 曲线 额外指定端点物理速度 $\mathbf m_i,\mathbf m_{i+1}$：

$$\mathbf q(\alpha) = h_{00}(\alpha)\mathbf q_i +h_{10}(\alpha)\Delta t\,\mathbf m_i +h_{01}(\alpha)\mathbf q_{i+1} +h_{11}(\alpha)\Delta t\,\mathbf m_{i+1},$$

其中

$$h_{00}=2\alpha^3-3\alpha^2+1, \qquad h_{10}=\alpha^3-2\alpha^2+\alpha,$$

$$h_{01}=-2\alpha^3+3\alpha^2, \qquad h_{11}=\alpha^3-\alpha^2.$$

代入 $\alpha=0,1$ 可验证位置分别为两端关键帧。由于

$$\frac{\mathrm d\mathbf q}{\mathrm dt} = \frac1{\Delta t} \frac{\mathrm d\mathbf q}{\mathrm d\alpha},$$

而端点处 $\mathrm d\mathbf q/\mathrm d\alpha$ 分别为 $\Delta t\,\mathbf m_i$ 和 $\Delta t\,\mathbf m_{i+1}$，所以物理时间上的端点速度正好匹配给定值。连续选择相邻段的速度能够获得 $C^1$ 运动。

图中线性插值在关键帧处会突然改变斜率，Hermite 曲线则通过端点速度让运动轨迹平滑衔接。位置连续并不代表速度连续，视觉上的顿挫通常来自后一种不连续。

角度直接线性插值可能绕远路，也会在 $360^\circ$ 附近跳变。三维旋转更适合使用单位四元数的 球面线性插值 Spherical Linear Interpolation，简称 SLERP。四元数 $q$ 与 $-q$ 表示同一旋转；若 $q_0\cdot q_1<0$，先令 $q_1\leftarrow-q_1$，才能沿四维单位球的短弧插值。令

$$\theta=\arccos[\operatorname{clamp}(q_0\cdot q_1,-1,1)],$$

则

$$\operatorname{slerp}(q_0,q_1;\alpha) = \frac{\sin[(1-\alpha)\theta]}{\sin\theta}q_0 +\frac{\sin(\alpha\theta)}{\sin\theta}q_1.$$

$q_0,q_1$ 必须先归一化；$\theta$ 很小时，直接线性插值后重新归一化更稳定。也可以先确保欧拉角分支一致，但它仍可能遇到万向节锁。比例、颜色和材质参数同样要依据其物理含义选择插值空间，不能机械地对显示编码值做线性插值。

动力学

运动学直接规定位置随时间的变化；动力学 Dynamics 从力和质量求运动。Newton 第二定律为

$$\mathbf F=m\mathbf a = m\frac{\mathrm d\mathbf v}{\mathrm dt} = m\frac{\mathrm d^2\mathbf x}{\mathrm dt^2}.$$

把二阶方程拆成一阶状态方程：

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \begin{pmatrix} \mathbf x\\ \mathbf v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf v\\ \mathbf F(\mathbf x,\mathbf v,t)/m \end{pmatrix}.$$

给定初始位置、速度、力模型和边界条件，数值积分器便能逐步求出状态。力模型决定物理现象，积分器决定连续方程如何离散，二者的问题需要分开判断。

弹簧力

先考虑两个质点 $a,b$，位置差

$$\mathbf d=\mathbf x_a-\mathbf x_b, \qquad \ell=\lVert\mathbf d\rVert, \qquad \hat{\mathbf d}=\frac{\mathbf d}{\ell}.$$

根据 Hooke’s Law，静止长度为 $\ell_0$、刚度为 $k_s$ 的弹簧势能是

$$E_s=\frac12k_s(\ell-\ell_0)^2.$$

力是势能对位置的负梯度。由于

$$\frac{\partial\ell}{\partial\mathbf x_a} = \frac{\mathbf x_a-\mathbf x_b} {\lVert\mathbf x_a-\mathbf x_b\rVert} =\hat{\mathbf d},$$

作用在 $a$ 上的力为

$$\mathbf f_{a\leftarrow b} = -\frac{\partial E_s}{\partial\mathbf x_a} = -k_s(\ell-\ell_0)\hat{\mathbf d}.$$

作用在 $b$ 上的力大小相等、方向相反。$\ell>\ell_0$ 时弹簧拉伸，力把两点拉近；$\ell<\ell_0$ 时弹簧压缩，力把两点推开。这一符号检查比死记公式更可靠。

零静止长度是 $\ell_0=0$ 的特例：

$$\mathbf f_{a\leftarrow b} = -k_s(\mathbf x_a-\mathbf x_b).$$

当 $\ell$ 接近零而 $\ell_0>0$ 时，方向 $\hat{\mathbf d}$ 不稳定，实现中需要避免除零或使用连续的正则化。

阻尼

理想弹簧只在动能和势能之间交换能量，会永久振荡。阻尼 Damping 用来耗散能量。全局阻力

$$\mathbf f_d=-k_d\mathbf v$$

相对于世界静止系的阻力会耗散运动，连整体平移也会减慢。它适合模拟空气阻力式的稳定化，却会改变系统总动量。

内部弹簧阻尼只抑制两个端点沿弹簧方向的相对速度。令

$$v_{\mathrm{rel}} = (\mathbf v_a-\mathbf v_b)\cdot\hat{\mathbf d},$$

作用在 $a$ 上的阻尼力可写为

$$\mathbf f_{d,a} = -k_dv_{\mathrm{rel}}\hat{\mathbf d}, \qquad \mathbf f_{d,b}=-\mathbf f_{d,a}.$$

两力相互抵消，因此不会凭空改变质心动量。只取轴向相对速度也避免把刚体式共同运动误当成弹簧形变。刚度和阻尼很大时，方程会变得 stiff，显式积分必须使用很小时间步。

弹簧网

多个质点和弹簧可以组成绳索、布料与软体。规则布料网格通常包含：

• structural springs：连接水平、竖直相邻点，抵抗拉伸；
• shear springs：连接对角点，抵抗剪切；
• bending springs：跨过一个点连接更远邻居，抵抗折叠。

只使用结构弹簧的方格可沿对角方向轻易剪切；加入剪切弹簧后形状更稳定；弯曲弹簧控制布料柔软程度。边界点可以固定或施加碰撞约束。

质点—弹簧模型直观，但参数很难与连续材料的 Young 模量、Poisson 比等严格对应。有限元法 Finite Element Method 从连续体能量出发，把物体离散成单元并求能量梯度，在材料精度和复杂变形上更系统。

图中布料或软体由离散质点和连线组成，局部受力会沿网格传播并形成整体形变。网格越密，能表现的局部褶皱越丰富，但每步需要处理的邻接关系也越多。

图中只画出了结构弹簧与剪切弹簧：前者抵抗水平和竖直拉伸，后者约束对角变形；这两类连接本身仍不抵抗面外弯曲。弯曲弹簧需要跨过一个邻点连接更远顶点，才能对折叠提供恢复力。缺少其中一类时，网格会沿对应自由度出现不自然的软塌或剪切。

粒子系统

粒子系统 Particle System 用大量简单个体表示火花、烟尘、喷泉、群集甚至流体。每一时间步通常执行：

1. 生成新粒子并设置初始状态；
2. 计算重力、阻力、吸引、排斥等力；
3. 更新速度和位置；
4. 处理碰撞、约束和粒子间作用；
5. 删除寿命结束或离开范围的粒子；
6. 以点精灵、网格、体积或隐式表面渲染。

令

$$\mathbf r_{ij}=\mathbf x_j-\mathbf x_i, \qquad r=\lVert\mathbf r_{ij}\rVert, \qquad \hat{\mathbf r}_{ij}=\frac{\mathbf r_{ij}}r,$$

其中方向从粒子 $i$ 指向粒子 $j$。两个质点的万有引力为

$$\mathbf f_{i\leftarrow j} = G\frac{m_im_j}{r^2}\hat{\mathbf r}_{ij},$$

其中 $\hat{\mathbf r}_{ij}$ 从 $i$ 指向 $j$。当 $r\to0$ 时力会发散，离散模拟常引入软化长度

$$\mathbf f_{i\leftarrow j} = Gm_im_j \frac{\mathbf r_{ij}} {(\lVert\mathbf r_{ij}\rVert^2+\varepsilon^2)^{3/2}}.$$

直接计算所有粒子对的成本为 $O(N^2)$。大规模引力、分子动力学和群集可用网格、空间哈希、Barnes–Hut tree 或邻域列表减少候选交互。

Flocking 不要求每个个体解真实流体方程，而用分离、对齐、聚合等局部规则产生群体运动。规则是行为模型，其参数与视觉结果相关，不应解释为基本物理常数。

图中每个个体只观察邻域并执行分离、对齐、聚合，整体却出现队形、转向和聚散等宏观行为。局部规则的组合会产生涌现结果，不能把群体轨迹简单归因于某一个个体的预设路径。

正向运动学

正向运动学 Forward Kinematics 从关节参数计算末端位置。骨架是关节组成的树，每个关节保存相对父关节的旋转和平移，根节点位于世界坐标。沿父子链相乘即可得到关节 $j$ 的全局变换：

$$T_j^{\mathrm{world}} = T_{\mathrm{root}} T_1\cdots T_j.$$

矩阵顺序由层级决定，父节点运动会影响所有后代。正向运动学输入关节参数，输出末端位置，计算直接且结果唯一。

二维平面中的 $m$ 段机械臂，段长为 $\ell_k$，关节相对角为 $\theta_k$。第 $k$ 段的世界朝向是累计角

$$\phi_k=\sum_{j=1}^{k}\theta_j.$$

末端位置因此为

$$x(\boldsymbol\theta) = \sum_{k=1}^{m}\ell_k\cos\phi_k, \qquad y(\boldsymbol\theta) = \sum_{k=1}^{m}\ell_k\sin\phi_k.$$

这个函数 $f(\boldsymbol\theta)$ 就是后续逆运动学要反求的映射。

两杆反解

逆向运动学 Inverse Kinematics 从末端目标反求关节参数。两段平面机械臂的段长为 $\ell_1,\ell_2$，目标为 $(x,y)$，目标到根部的距离满足

$$r^2=x^2+y^2.$$

由余弦定理，

$$r^2 = \ell_1^2+\ell_2^2 +2\ell_1\ell_2\cos\theta_2,$$

所以

$$\cos\theta_2 = \frac{r^2-\ell_1^2-\ell_2^2} {2\ell_1\ell_2}.$$

若右侧超出 $[-1,1]$，目标不在可达环域

$$|\ell_1-\ell_2| \le r \le\ell_1+\ell_2.$$

有效时 $\sin\theta_2$ 有正负两个选择，对应肘部向上或向下。选定 $\theta_2$ 后，

$$\theta_1 = \operatorname{atan2}(y,x) -\operatorname{atan2} \left( \ell_2\sin\theta_2, \ell_1+\ell_2\cos\theta_2 \right).$$

第一项是目标方向，第二项修正第一段与根部到目标连线之间的夹角。这个解析解展示了 IK 的三个基本现象：目标可能无解、可能有多个解，也可能在完全伸直等奇异姿态附近对目标变化非常敏感。

FK 是确定的正向映射；IK 是带约束的反问题，多解、无解和奇异位形都属于问题本身。

数值反解

复杂骨架通常通过优化求解。设末端位置为 $f(\boldsymbol\theta)$，目标为 $\mathbf p^*$，可最小化

$$E(\boldsymbol\theta) = \frac12 \lVert f(\boldsymbol\theta)-\mathbf p^*\rVert^2.$$

令误差 $\mathbf e=f(\boldsymbol\theta)-\mathbf p^*$，Jacobian 为

$$J=\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol\theta},$$

链式法则给出

$$\nabla_{\boldsymbol\theta}E = J^T\mathbf e.$$

最简单的梯度下降更新为

$$\boldsymbol\theta_{k+1} = \boldsymbol\theta_k -\eta J^T\mathbf e.$$

Gauss–Newton 在局部线性化 $f(\boldsymbol\theta+\Delta\boldsymbol\theta)\approx f(\boldsymbol\theta)+J\Delta\boldsymbol\theta$ 后，求解

$$J^TJ\Delta\boldsymbol\theta = -J^T\mathbf e.$$

接近奇异姿态时 $J^TJ$ 可能病态，Damped Least Squares 改为

$$(J^TJ+\lambda I)\Delta\boldsymbol\theta = -J^T\mathbf e$$

以提高稳定性。关节限位、姿态偏好、脚底接触和避障都可作为约束或附加能量加入。

蒙皮绑定

Rigging 把可变形网格绑定到骨架。线性混合蒙皮 Linear Blend Skinning 为每个顶点分配若干关节权重 $w_{ij}$，满足

$$w_{ij}\ge0, \qquad \sum_jw_{ij}=1.$$

以下统一采用 column vector，并让 $\bar{\mathbf x}_i$ 位于模型的绑定姿态空间；$B_j$ 与 $T_j$ 分别把关节 $j$ 的局部坐标变换到绑定姿态模型空间和当前模型空间。这样二者处在同一个目标坐标系约定下，顶点更新为

$$\bar{\mathbf x}_i' = \sum_j w_{ij}T_jB_j^{-1}\bar{\mathbf x}_i.$$

$B_j^{-1}$ 先把顶点送到关节绑定空间，$T_j$ 再送到当前姿态，最后按权重混合。线性混合简单高效，但大角度扭转会损失体积并产生 candy-wrapper artifact。双四元数蒙皮、修正形变或数据驱动方法可改善。

图中骨骼层提供关节变换，蒙皮层为每个顶点保存多关节权重，网格位置是这些变换的加权结果。局部关节运动先沿骨架层级传播，再通过权重影响附近顶点，因此权重突变会造成明显折痕。

Blend Shapes 直接在线性形状基上组合面部表情：

$$\mathbf x = \mathbf x_0+\sum_kw_k\Delta\mathbf x_k.$$

它适合嘴型和表情等局部形变，也可与骨骼蒙皮叠加。权重范围和组合关系需要约束，否则会产生超出制作意图的形状。

图中每个 blend shape 是相对基准网格的一组位移，权重改变时把多个局部形变线性叠加。它直接表达嘴角、眼睑等形状目标，和骨骼提供的整体刚性运动属于不同数据层，可以组合使用。

动作捕捉

动作捕捉 Motion Capture 从真实演员获得身体或面部运动。光学系统用多台标定相机观察标记点，通过多视图射线的最近交会恢复三维位置，再把标记轨迹拟合到骨架。惯性系统使用 IMU 估计各部位旋转，不依赖固定相机，但会积累漂移。

捕捉数据自然、细节丰富，却仍需处理遮挡、标记混淆、缺帧、抖动和骨架比例差异。动作重定向 Retargeting 把源演员动作映射到不同角色，需要保持足底接触、关节限制和运动风格。

图中光学标记主要提供三维位置，IMU 主要提供局部旋转，系统把这些观测拟合成随时间变化的骨架参数；清理缺帧和重定向后才得到角色动画。捕捉数据是测量结果，不等于已经满足角色比例、接触和关节约束的最终姿态。

面部捕捉对微小形变和眼神很敏感。即使几何准确，只要眼睛、皮肤或时序略有不协调，也会产生 恐怖谷 Uncanny Valley。制作流程通常结合捕捉、表情基、人工修整与物理次级运动，而不直接把原始测量当作最终动画。