面光积分

多边形面积光源占据一个方向范围。固定接收点 pp 与观察方向 ωo\boldsymbol\omega_o，记光源覆盖范围与宏观接收半球的交集为 ΩP\Omega_P，需要计算

Lo=∫ΩPLi(ωi)fr(ωi,ωo)max⁡(0,n⋅ωi)V(p,ωi) dωi.L_o=\int_{\Omega_P}L_i(\boldsymbol\omega_i) f_r(\boldsymbol\omega_i,\boldsymbol\omega_o) \max(0,\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i) V(p,\boldsymbol\omega_i)\,\mathrm d\omega_i.

随机采样光源可以估计它，但每个像素只用少量样本时会有噪声，阴影查询还会增加成本。Linearly Transformed Cosines，LTC 针对多边形光源的无阴影直接着色，将反射分布近似为一类容易积分的函数。

先设光源辐亮度为常数 LL，V=1V=1。将固定观察方向后的响应写为 K(ω)=fr(ω,ωo)max⁡(0,n⋅ω)K(\boldsymbol\omega)=f_r(\boldsymbol\omega,\boldsymbol\omega_o)\max(0,\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega)，则 Lo=L∫ΩPK dωL_o=L\int_{\Omega_P}K\,\mathrm d\omega。BRDF 原本依赖两个二维方向，固定其中一个后，待积分的瓣只随另一方向变化。

LTC 与环境 Split Sum 处理不同的积分域：前者每次使用当前多边形光源的边界，后者预过滤整个环境方向图。LTC 的拟合误差、阴影缺失与非均匀发光，也需要分别处理。

方向变换

以归一化的截断余弦分布为起点：

D0(ω0)=max⁡(0,ω0z)π.D_0(\boldsymbol\omega_0)=\frac{\max(0,\omega_{0z})}{\pi}.

选可逆矩阵 MM，将方向线性变换后重新归一化：

ω=Mω0∥Mω0∥,ω0=M−1ω∥M−1ω∥.\boldsymbol\omega=\frac{M\boldsymbol\omega_0}{\|M\boldsymbol\omega_0\|}, \qquad \boldsymbol\omega_0=\frac{M^{-1}\boldsymbol\omega}{\|M^{-1}\boldsymbol\omega\|}.

缩放改变瓣的宽度，不同轴的缩放形成各向异性，剪切使形状偏斜；归一化把结果重新放回单位球面。只有转方向而不变换密度，会改变总能量。

球面面积的 Jacobian 为

dω=∣det⁡M∣∥Mω0∥3 dω0.\mathrm d\omega= \frac{|\det M|}{\|M\boldsymbol\omega_0\|^3}\,\mathrm d\omega_0.

可以从小锥体理解这个因子：线性变换使三维体积乘 ∣det⁡M∣|\det M|，但该方向上的径向长度变为原来的 ∥Mω0∥\|M\boldsymbol\omega_0\| 倍；将径向体积重新归一到单位球面，需要除以这一长度的三次方。

按概率质量不变 D(ω)dω=D0(ω0)dω0D(\boldsymbol\omega)\mathrm d\omega=D_0(\boldsymbol\omega_0)\mathrm d\omega_0，得到

DLTC(ω)=D0 ⁣(M−1ω∥M−1ω∥)∣det⁡M−1∣∥M−1ω∥3.D_{\rm LTC}(\boldsymbol\omega)=D_0\!\left( \frac{M^{-1}\boldsymbol\omega}{\|M^{-1}\boldsymbol\omega\|}\right) \frac{|\det M^{-1}|}{\|M^{-1}\boldsymbol\omega\|^3}.

令 K≈ADLTCK\approx A D_{\rm LTC}，AA 表示整体响应幅度，MM 表示方向形状。拟合有限形状族可以保留主要特征，但任意 BRDF 并不都能被一个矩阵精确变成余弦。LTC 作者研究页

光源换元

复杂反射瓣与多边形光源一起变换为余弦积分

左图是拟合后的方向瓣 DD 和光源 PP；右图恢复为简单余弦瓣 D0D_0，光源同时变成 P0=M−1PP_0=M^{-1}P。球面上黑色围出的区域表示相应光源占据的方向范围。只改反射瓣、保留原光源区域，会得到错误积分。

换元后

Lo≈LA∫ΩPDLTC(ω) dω=LA∫ΩP0D0(ω0) dω0.L_o\approx LA\int_{\Omega_P}D_{\rm LTC}(\boldsymbol\omega)\,\mathrm d\omega =LA\int_{\Omega_{P_0}}D_0(\boldsymbol\omega_0)\,\mathrm d\omega_0.

把每个光源顶点 xj\mathbf x_j 相对接收点的向量变到当前局部坐标，先保留宏观接收半球内的光源区域，再乘 M−1M^{-1}。在变换后的 z≥0z\ge0 半空间继续裁剪，最后将有效顶点归一化为 vj\mathbf v_j。前一条件排除物理背面的入射，后一条件对应拟合截断余弦的支持域；两者不能混为一份坐标下的判断，也不能仅检查光源中心是否在正面。

归一化顶点间的边在单位球面上形成大圆弧。利用球面积分到边界积分的关系，每条边贡献

Ij=12πθj(vj×vj+1)z∥vj×vj+1∥,θj=arccos⁡(clamp⁡(vj⋅vj+1,−1,1)).I_j=\frac1{2\pi}\theta_j \frac{(\mathbf v_j\times\mathbf v_{j+1})_z} {\|\mathbf v_j\times\mathbf v_{j+1}\|}, \quad \theta_j=\arccos(\operatorname{clamp}(\mathbf v_j\cdot\mathbf v_{j+1},-1,1)).

按一致顶点绕序求和 I=∑jIjI=\sum_jI_j，就是 ∫ΩP0D0 dω0\int_{\Omega_{P_0}}D_0\,\mathrm d\omega_0。这来自投影面积：球面区域的余弦积分等于该区域在法线平面上的有向面积，边界的大圆弧决定对应面积向量。Lambertian 情形 MM 为单位矩阵、A=ρA=\rho，便回到光源投影立体角乘 ρ/π\rho/\pi 的结果。

退化短边需用 θ/sin⁡θ→1\theta/\sin\theta\to1 的极限处理；接近反向的顶点、光源平面经过接收点等情况需要额外数值保护。单面光源先检查发光面朝向，非凸光源可以三角化并累加，不能靠最后取绝对值掩盖错误绕序或重复区域。

拟合与查表

如何得到 MM？离线对指定 BRDF、粗糙度和观察角拟合 LTC 分布，并存幅度及矩阵参数。各向同性材质的常见表按粗糙度与 n⋅ωo\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_o 索引；局部坐标的一个切向轴沿观察方向的表面投影，另一个轴由叉乘得到。观察方向正好沿法线时，需要稳定的备用切线。

运行时查询拟合表，变换光源顶点，裁剪并累加边界项。矩阵通常只需少量自由参数，并非每像素重新执行优化。

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// 固定 BRDF 已离线拟合，光源具有均匀辐亮度且暂不计算阴影。
function evaluatePolygonLight(p, normal, view, roughness, vertices):
    localFrame = makeViewAlignedFrame(normal, view)
    inverseM, amplitude = lookupLtc(roughness, dot(normal, view))
    localVertices = []
    for vertex in vertices:
        relative = worldToLocal(localFrame, vertex - p)
        localVertices.append(relative)
    localVertices = clipPolygonToPositiveZ(localVertices)
    transformed = []
    for relative in localVertices:
        transformed.append(inverseM * relative)
    transformed = clipPolygonToPositiveZ(transformed)
    directions = normalizeEach(transformed)
    integral = integrateCosinePolygonBoundary(directions)
    return lightRadiance * amplitude * integral

星形和矩形面光源在表面上形成的直接反射

左图星形光源在地面形成对应反射结构，右图多个有色矩形灯在不同表面形成宽窄不同的反射。多边形积分让光源轮廓进入着色结果，而非始终将面光源当成一个中心点。图中的完整场景效果不能证明遮挡也是由 LTC 计算的，阴影需要其他方案。

更换 BRDF、增加反射瓣、使用各向异性或复杂 Fresnel 时，应相应拟合、分瓣和建表；一份 GGX 表不自动适用于所有 Disney 参数。贴图光源的 LiL_i 非常量，也不能直接提出积分号，需分片、采样或更复杂的积分扩展。离线渲染同样能使用 LTC，但已有高质量采样管线未必需要这一实时取舍。

材质控制

单一微面反射瓣难以表达所有测量材质。清漆木材既有底层颜色和散射，也有表层较清晰的反射；只调一份粗糙度，往往同时改变了本应分别控制的效果。直接让美术设置折射率等物理量，也未必便于按照外观工作。

Disney Principled BRDF 以测量材质为参考，将常见反射特征整理为一套相对统一的可控模型。其设计原则是：参数对应可观察效果，数量尽量少，合理范围映射到 [0,1][0,1]，必要时允许越界，并尽量让不同参数组合保持稳健可信。这里的 Principled 强调设计准则，不意味着所有经验项都由严格物理推导得到。Disney 原始讲义

颜色参数 Base Color 在非金属时主要描述底层漫反射颜色，在金属时主要用于有色镜面反射。2012 版还有十个标量参数，不能将后来的同名 Principled 实现与这份参数表自动视为同一版本。

Disney材质各参数从0到1独立变化的球体矩阵

每行只改变左侧标出的一个参数，各列从 00 到 11，其他设置保持该行的参考值。不同颜色属于不同的演示材质，不能跨行把颜色差异都归到行名参数。Base Color 没有单独列在这幅十行图中。

参数 控制内容与图中变化
Subsurface 改变漫反射的方向形状，使明暗过渡接近简化的次表面散射外观；它不追踪光进入材质后从另一表面位置出来。BSSRDF 描述这种跨表面位置的光传输，不能由该参数替代。
Metallic 从电介质响应过渡到金属响应，减弱底层漫反射并让镜面反射带 Base Color；金色一行中环境反射逐渐主导外观。
Specular 控制电介质的正入射镜面反射强度，改变高光与环境反射的量；它不直接控制高光宽度。
Specular Tint 在中性电介质镜面色与带 Base Color 的镜面色之间调整，为艺术控制提供色调偏移。
Roughness 改变反射瓣宽度；蓝色一行中的清晰环境结构逐渐变宽、变模糊。
Anisotropic 使切线、次切线方向的粗糙度不同，形成方向相关的高光拉伸；还需有一致的表面切线方向。
Sheen 添加掠射方向的柔和反射，用于某些织物边缘的外观；不是完整纤维散射模型。
Sheen Tint 调整 Sheen 颜色向 Base Color 偏移的程度。
Clearcoat 控制额外清漆反射瓣的强度，可同时保留底层反射与较锐利的表层反射。
Clearcoat Gloss 控制清漆层的光泽和宽度，较高值通常对应更窄的清漆高光，不等于底层 Roughness。

这种统一模型便于材质制作与参数插值，但参数空间仍较大，不同组合也可能产生接近的外观。在材质反求中，“能拟合一种外观”不等于“参数解唯一”。是否满足能量守恒还需按具体版本、公式和参数域验证；不能把课堂答疑中的推测记成所有 Disney 模型的性质。

其多瓣结构并不妨碍实时使用，可以分瓣做环境预积分或面积光拟合。但表格维度、瓣间能量分配、各向异性方向以及预计算成本要随模型调整，不能直接套用单瓣近似就声称参数全覆盖。

风格化目标

非真实感渲染 Non-Photorealistic Rendering，NPR 以风格化表达为目标，包括线条、色块、笔触和用于说明结构的抽象。它可用于艺术、可视化、教学、技术说明、游戏与动画，并不限于卡通人物。

照片式渲染希望光照、材质和阴影共同形成接近摄影的结果；NPR 可以有意调整其中部分特征，以强调形状或信息。实时实现还需要低成本和帧间稳定：一条线在静止时正确、运动时反复出现和消失，仍会破坏表达。

可以先从目标图像观察具体特征。例如游戏风格中的粗轮廓、分段明暗和表面笔触，分别对应边缘检测、着色量化和纹理组织。接下来要回答“使用哪个几何或图像信号能得到这些特征”，再选择相应的着色步骤。

边缘分类

打开盒子上的边界、折痕、材质分界与视图轮廓

盒盖上只有一侧面相邻的边标为 BB，是开放的 Boundary。相邻面朝向不同形成的几何折痕标为 CC，即 Crease。盒侧彩色条带边界标为 MM，是 Material Edge，不必伴随几何突变。SS 是随视角变化的 Silhouette，即投影外轮廓。

标为 CSCS 的边在这个视角下同时是折痕和外轮廓；转动相机，它仍是折痕，但可能不再是外轮廓。光滑曲面也会形成 Silhouette，所以外轮廓并不总是折痕的子集。开放边界、材质边和几何轮廓需要不同信号，不能用一个判据无条件检测所有边。

法线描边

在平滑曲面的投影边缘，法线接近垂直于观察方向，可以用 ∣n⋅v∣<τ|\mathbf n\cdot\mathbf v|<\tau 判定需要加黑的区域。阈值越大，参与加黑的角度范围越宽；用 smoothstep 可以让边界有较平滑的过渡。

法线与视线接近垂直的区域加黑后形成轮廓

右图轮廓和若干内部结构比左图更重。法线变化缓慢的区域可能有较宽黑带，变化快的区域则较窄，所以这一角度阈值不保证恒定像素线宽。

这里使用的是 Shading Normal，它可以受法线插值或 Normal Map 影响。纹理中发生法线偏转也可能触发黑线，即使几何没有真正形成边缘；反之材质分界和开放边未必满足这个角度条件。需要纯几何轮廓时，应选择几何法线、网格邻接或其他信号。

背面膨胀

Backface Fattening / Inverted Hull 先正常绘制模型，再将外扩的背面绘成深色。正面覆盖内部区域，扩张背面只在投影轮廓外露出一圈。

边的平行外扩与沿顶点方向膨胀的差异

左侧两幅三角形显示角部延长与截断的差别，右图沿各顶点方向外扩多边形。锐角、法线不连续或非均匀缩放会改变外扩形状，不能认为任意网格沿顶点法线移动后都形成等宽边框。

一种实现顺序是先画普通正面，再在描边 Pass 中剔除正面，沿法线外扩顶点并用描边色画背面，保留合适的深度测试。也可先画膨胀壳再画正常模型，关键是剔除、深度与覆盖关系一致。

世界空间固定外扩距离 δ\delta 对应 x′=x+δn\mathbf x'=\mathbf x+\delta\mathbf n，远处投影线宽会变小。若追求固定屏幕线宽，可以在裁剪空间沿投影后的法线方向偏移，再按 ww、视口尺寸换算；这仍需处理法线接近视线、锐角和局部遮挡。

闭合网格与一致绕序便于这种方法工作；开放网格、薄片或局部自交可能露出不应有的黑面。它主要描绘投影轮廓，不会自动画出所有材质边和内部折痕。

图像描边

也可以对屏幕缓冲做边缘检测 Edge Detection。Sobel Operator 用两组 3×33\times3 核分别估计两个轴上的变化：

Kx=[−101−202−101],Ky=[−1−2−1000121].K_x=\begin{bmatrix}-1&0&1\\-2&0&2\\-1&0&1\end{bmatrix}, \qquad K_y=\begin{bmatrix}-1&-2&-1\\0&0&0\\1&2&1\end{bmatrix}.

将核与邻域对应值相乘并求和，得到梯度 gx,gyg_x,g_y。每个核的系数和为零，均匀区域中的正负贡献抵消；跨过边界时两侧不同，产生较大响应。可用 g=gx2+gy2g=\sqrt{g_x^2+g_y^2} 合成梯度强度，再阈值化形成线条。

Sobel输入、合成边缘及两个方向梯度

左上是原图，右上是组合后的边缘；左下与右下分别显示两个方向的响应。砖缝的竖向与横向结构在两幅梯度图中表现不同。下排为了显示正负梯度将零附近映为灰色，并不是所有位置都存在灰色边缘。

颜色梯度会检测到纹理与照明变化，未必是几何边；深度梯度能找到前后断层，但可能遗漏同深度折痕；法线差异能表现朝向变化，也可能受 Normal Map 干扰。可以分别检测并组合深度、法线、颜色或材质 ID，根据目标风格设置不同权重。

这种方法直接以像素邻域控制线宽，但远处细线、采样锯齿和相机运动会影响稳定性。将边缘掩码转为描边色后与原图混合，也要避免把用于分析的 HDR 值与最终显示颜色的阈值混用。

色阶量化

Hard Shading / Cel Shading 将连续光照响应分成若干档。例如 s=max⁡(0,n⋅l)s=\max(0,\mathbf n\cdot\mathbf l)，以 0.50.5 和 0.850.85 为阈值，选择暗、中、亮三种颜色。

茶壶根据法线与光向余弦分成三档明暗

图中的最高档是 s≥0.85s\ge0.85，中档是 0.5≤s<0.850.5\le s<0.85，低档是 s<0.5s<0.5。图上两个“≥\ge”标签有范围重叠，实现必须按有序阈值判断，不能将同一位置同时加上两档。

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// 亮、中、暗三档只是某种风格的选择，阈值与颜色由目标外观确定。
vec3 shadeInBands(float cosine, vec3 dark, vec3 middle, vec3 bright) {
    if (cosine >= 0.85) {
        return bright;
    }
    if (cosine >= 0.5) {
        return middle;
    }
    return dark;
}

Posterization 则将已算出的颜色或明暗信号量化。对 [0,1][0,1] 的单个颜色分量，NN 档示意为 QN(c)=round⁡((N−1)c)/(N−1)Q_N(c)=\operatorname{round}((N-1)c)/(N-1)。它不必使用 n⋅l\mathbf n\cdot\mathbf l，因此能保留其他光照来源，但分档结果依赖选用的颜色空间和输入处理。

水果模型及多色阶、描边组合后的风格化结果

右图每种水果都包含不止两个颜色档，并保留白色高光和深色轮廓。左图给出几何模型，不是可以直接逐像素量化成右图颜色的完整输入。

漫反射、高光和轮廓可以分别风格化后组合，无需所有部分采用同一套阈值。

漫反射、高光、色块和描边的不同组合

上排各列从常规着色、高光强调、漫反射与高光分档，到专门线条效果；下排分别增加描边。第二列保持平滑高光，第三列高光本身也形成色块。风格选择改变了哪些信号被保留，而非只更换一份材质颜色。

笔触组织

手绘排线希望用笔触密度表示明暗，同时保持笔触贴着表面、在远近变化时连续。Tonal Art Maps，TAM 为不同 Tone 与尺度预先组织笔触纹理，运行时按着色明暗与纹理足迹选择。

不同明暗档与分辨率尺度下的笔触纹理

从左到右笔触增多，整体变暗；每列由小到大展示不同尺度层。同一明暗档在不同分辨率下应有相近的平均 Tone，同时让笔触在屏幕上保持合适大小。普通 mipmap 将细笔触缩成像素平均，可能只剩一片灰色，不能自动保证这种笔触效果。

构造 TAM 时，让较暗档尽量包含较亮档的笔触，再增加新的笔触，使明暗插值不至于将两套完全不同的线条同时淡入淡出；不同尺度也需维护对应关系。明暗、大小和布局的连贯性都需要设计，不能只准备几张互不相关的排线图片。

笔触与网格预处理后按明暗和尺度实时查询

图左的单笔触用于构造上方 TAM，网格用于生成下方 Lapped Textures：在表面覆盖相互重叠的局部纹理片，协调其方向和边界。右侧结果由这两份数据共同生成。手掌上的明暗靠笔触密度表达，方向随表面组织，而非始终沿屏幕水平轴。

预处理负责纹理层级和表面参数化，实时阶段先求连续的着色明暗，再查相邻 Tone、mip 层并混合。每帧完全重新随机生成笔触会闪烁，纹理缝、尺度切换和几何运动也需要连续性处理。

材质与风格

布料表面的方向高光、褶皱与颜色响应

这些抱枕的褶皱、掠射反射和方向性高光提供了材质辨识信息。做风格化时，可以保留这些响应的结构，再对亮暗、边缘或笔触作抽象；不必从一开始就丢掉材质规律。

不同角色、部位或用途可以使用不同规则。需要和美术明确哪些线必须出现、哪些阴影应保持稳定、哪些材质特征不能丢失，再选择能计算的信号。真实感材质模型提供反射基础，NPR 决定如何呈现这些信息；技术与艺术目标之间的对应，比套用一套固定效果更重要。