实时渲染-04：环境光照与预积分

方向光照

一盏点光源只对应一个入射方向，环境则从四周提供光。环境贴图 Environment Map 将不同方向的入射辐亮度保存下来，使一个材质能够受到天空、窗户、墙面等方向结构的照明。这种利用图像描述光照的做法常称为基于图像的照明 Image-Based Lighting，IBL。

左侧是森林的经纬展开，右侧是教堂环境的 Cube Map 展开。它们各自将方向对应到纹理位置，不是在给模型表面贴一张普通颜色图。两图来自不同环境，作用是说明表示方式，不能比较同一方向的数值。

基本模型将环境放在很远处，入射光只随方向变化，不随着色点位置变化。附近墙面、局部视差和随位置变化的遮挡不能完整装进这一张方向图。环境也常包含远高于普通显示白色的亮度，需要高动态范围 High Dynamic Range，HDR 数据；先截到 $[0,1]$ 会丢失照明能量。

无阴影积分

先暂时忽略遮挡，令可见性 $V=1$，求环境在单个表面点上的反射：

$$L_o(\boldsymbol\omega_o) =\int_{\Omega^+}L_i(\boldsymbol\omega_i) f_r(\boldsymbol\omega_i,\boldsymbol\omega_o) (\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i)\,\mathrm d\omega_i.$$

法线 $\mathbf n$ 定义接收半球，$\boldsymbol\omega_o$ 是从表面指向观察者的方向。入射方向 $\boldsymbol\omega_i$ 也以离开表面的方向表示，用于查询光来自哪里；实际入射传播方向与它相反。

蒙特卡洛积分 Monte Carlo Integration 可以处理这个问题。按方向概率密度 $p_\omega$ 取 $N$ 个样本，计算

$$\widehat L_o=\frac1N\sum_{j=1}^N \frac{L_i(\boldsymbol\omega_j) f_r(\boldsymbol\omega_j,\boldsymbol\omega_o) (\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_j)}{p_\omega(\boldsymbol\omega_j)}.$$

它通用，但每个片元都要查询许多方向。实时着色时，一个像素还可能混合多个局部环境探针，直接重复积分更贵。问题因此转向：哪些工作与当前像素无关，可以提前完成，运行时只查少量纹理？

这里讨论的是无阴影环境着色，不包含自发光与完整间接反弹。不能因为结果中有复杂环境反射，就认为所有局部遮挡也已经计算。

反射范围

理想镜面只反射一个方向；粗糙表面由许多不同朝向的微面组成，环境中一片方向都可能贡献到当前视线。反射瓣 Reflection Lobe 描述这份方向分布，粗糙度 Roughness 增大时通常使相关方向范围变宽。

对镜面，若观察方向为 $\mathbf v$，查询环境的反射方向为

$$\mathbf r=2(\mathbf n\cdot\mathbf v)\mathbf n-\mathbf v.$$

GLSL 中对应 reflect(-v, n)；输入的向量方向约定不同，就会查到错误环境。粗糙反射则需要以相应反射方向为中心，收集一个方向范围，而不只取一束光。

图左侧黑色方向 $i$ 经表面反射形成围绕 $r$ 的方向族，右侧把这种范围贡献转成预过滤后的一次查询。借助 BRDF 的互易性，固定观察方向时也可以反过来分析哪些入射方向会贡献。它说明“方向范围平均与中心查询”的思路，并不表示任意粗糙反射都只是均匀圆形范围。

拆分积分

沿用乘积近似，记 $K=f_r(\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i)$，可以近似写成

$$\int L_iK\,\mathrm d\omega_i \approx \overline L_i\int K\,\mathrm d\omega_i.$$

$\overline L_i$ 代表相关反射范围中经过适当过滤的环境光，第二项代表材质在该观察条件下的整体反射响应。光照与响应的相关性被近似分开，所以两者可以分别预计算。

窄反射瓣使有效方向范围较小；宽而平滑的材质响应则能降低对环境细节的敏感度。这些观察给近似提供动机，但不是“任意 BRDF 都能安全提出环境项”的证明。环境中一个非常亮的小窗恰被高光挑中时，相关性可能很强。

工程中积分通过求和实现，这种将两份求和分开预计算的方案称为 Split-Sum Approximation。两个阶段分别处理环境图与 BRDF，不是把所有材质参数和环境变化一起塞进一张高维表。

环境预过滤

第一阶段为不同粗糙度预先生成环境的过滤结果。运行时用反射方向 $\mathbf r$ 查对应层级，再在相邻粗糙度层之间插值。

左上树干和天空细节较清晰，中间范围平均后变模糊，右下只剩宽范围的亮暗与颜色结构。粗糙反射要收集更多方向，正是这种由局部细节向宽范围平均的变化，而非把已着色的物体图像再整体模糊。

这类层级常放在 Cube Map 的 mip 层中，但各层应按目标反射分布构造。GGX / Trowbridge–Reitz 统计不同朝向微面的面积，用较长尾部表达粗糙反射的方向范围，具体定义与推导见GGX长尾。普通 $2\times2$ 图像平均并不自动等于这种反射瓣的预过滤；球面方向面积、Cube Map 边缘和纹素立体角也会影响结果。

常见方案为控制数据维度，预过滤时采用 $\mathbf n=\mathbf v=\mathbf r$ 的近似，只保留反射方向和粗糙度。真实微表面反射瓣还随观察角变化，掠射时可能被拉长，所以这一处理会丢掉部分方向形状。更换环境图后也需要更新预过滤数据，不能沿用旧环境的光照。

漫反射分流

漫反射可以更直接处理。Lambertian BRDF 为 $\rho/\pi$，则

$$L_o^{\rm diffuse}(\mathbf n) =\frac\rho\pi E(\mathbf n), \qquad E(\mathbf n)=\int_{\Omega^+}L_i(\boldsymbol\omega) \max(0,\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega)\,\mathrm d\omega.$$

预计算的是辐照度 Irradiance，查询变量为法线 $\mathbf n$。它不依赖观察方向，与沿镜面反射方向查粗糙高光的做法要分开。后面将用球谐函数高效表达这个较平滑的响应。

有些工程纹理保存 $E$，有些保存 $E/\pi$，组合时必须核对约定。漫反射和高光分量还要共享合理的能量预算，不能各按全部入射能量相加。

材质预积分

高光的第二阶段仍是积分：

$$I(\mathbf n,\mathbf v,\text{材质}) =\int_{\Omega^+}f_s(\boldsymbol\omega_i,\mathbf v) (\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i)\,\mathrm d\omega_i.$$

若直接为全部颜色、粗糙度和方向组合建表，存储维度会很高。预积分 Preintegration 需要利用公式结构，先把能够单独组合的参数拆出来。

对常见单次微表面高光，令入射与观察方向都指离开表面，半程向量为 $\mathbf h=\operatorname{normalize}(\boldsymbol\omega_i+\mathbf v)$，有

$$f_s=\frac{D(\mathbf h)G(\boldsymbol\omega_i,\mathbf v) F(\mathbf v\cdot\mathbf h)} {4(\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i)(\mathbf n\cdot\mathbf v)}.$$

$D$ 是法线分布函数 Normal Distribution Function，NDF，统计不同朝向微面的面积；$G$ 描述微面间遮挡，$F$ 是 Fresnel 界面反射率。完整的微表面讨论可复习材质模型。这里先利用其颜色参数的可分离结构。

Fresnel拆色

Schlick 近似 把 Fresnel 写为

$$F(c)=F_0+(1-F_0)(1-c)^5, \qquad c=\mathbf v\cdot\mathbf h.$$

$F_0$ 是正入射基础反射率，可以为 RGB；它不等于所有材料统一的“漫反射基色”。电介质常有较低的近灰色 $F_0$，金属反射可以带颜色。这里的角度是视线与微面法线 $\mathbf h$ 的夹角，不是任意的 $\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i$。

令 $F_c=(1-c)^5$，改写为

$$F=F_0(1-F_c)+F_c.$$

设 $H=DG/[4(\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i)(\mathbf n\cdot\mathbf v)]$，将它代入材质积分：

$$I=F_0\underbrace{\int_{\Omega^+}H(1-F_c) (\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i)\,\mathrm d\omega_i}_{A} +\underbrace{\int_{\Omega^+}HF_c (\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i)\,\mathrm d\omega_i}_{B}.$$

$F_0$ 不随积分方向变化，因此可以提出。$A,B$ 不再依赖基础反射颜色；改变金属颜色等参数时，不必重新计算这一方向积分。

二维查表

对给定的各向同性 $D,G$ 模型，剩余响应主要由粗糙度和 $N\!V=\mathbf n\cdot\mathbf v$ 决定。可以将 $A,B$ 存成一张二维纹理的两个通道，称为 BRDF LUT Lookup Table。

横轴是 $\cos\theta_v=N\!V$，纵轴是粗糙度；红、绿表现两个预积分通道，不是材质的实际颜色。入射方向已经在生成表时被积分，不应再拿某条入射角作查询坐标。

常见粗糙度参数 $r$ 与 NDF 的参数 $\alpha$ 有映射关系，例如采用 $\alpha=r^2$。预积分、环境预过滤和运行时材质必须使用一致的映射及同一 $D,G$ 约定。各向异性材质还依赖切向方位等参数，不能无条件套用这张各向同性二维表。

重要性采样

预计算阶段仍可使用较多样本，成本只是移到运行之前。重要性采样 Importance Sampling 让样本较多地落在贡献大的方向，减少用有限样本估计这些积分的噪声。

以按 NDF 采样半程向量为例，$p_h(\mathbf h)=D(\mathbf h)(\mathbf n\cdot\mathbf h)$。镜面反射把 $\mathbf h$ 变为 $\boldsymbol\omega_i$，方向 PDF 需要相应的 Jacobian：

$$p_\omega(\boldsymbol\omega_i) =\frac{D(\mathbf h)(\mathbf n\cdot\mathbf h)}{4|\mathbf v\cdot\mathbf h|}.$$

这个 $4|\mathbf v\cdot\mathbf h|$ 来自半程方向与反射方向之间的立体角换元，不是随意归一化常数。将 $f_s$、余弦和 PDF 相除，$D$ 等项相消，得到权重

$$G_{\rm vis}=\frac{G(\boldsymbol\omega_i,\mathbf v) (\mathbf v\cdot\mathbf h)} {(\mathbf n\cdot\mathbf h)(\mathbf n\cdot\mathbf v)}.$$

于是预积分可用下述过程估计：

对每组粗糙度 r 和观察角 NoV：
    构造单位法线 n 与满足观察角的单位视线 v
    初始化 A = 0，B = 0
    对 N 个半程向量样本：
        按目标 NDF 的投影分布取 h
        wi = 2 * dot(v, h) * h - v
        若 wi 在法线上半球且所需分母合法：
            计算 Gvis 与 Fc = (1 - dot(v, h))^5
            A += Gvis * (1 - Fc)
            B += Gvis * Fc
        否则该样本贡献为 0
    将 A / N、B / N 写入二维表

反射到接收半球外的样本贡献为零，仍按原总样本数归一化，不能改成只除以通过的样本数而不修正采样分布。零粗糙度的镜面极限与掠射退化需要相应分支，不能把零直接代入所有 NDF 分母。

运行组合

运行时查询粗糙度对应的环境层和 $A,B$ 表，得到

$$L_o^{\rm specular} \approx L_{\rm prefilter}(\mathbf r,r) \left[F_0A(N\!V,r)+B(N\!V,r)\right].$$

RGB 与标量按通道组合。颜色和环境数据都应在线性空间，不能对 gamma 编码值直接执行能量运算。

求反射方向 r_dir = reflect(-v, n)
按材质粗糙度查询预过滤环境图，得到 RGB 光照 L
按 (NoV, roughness) 查询 BRDF LUT，得到 A、B
specular = L * (F0 * A + B)
按材质能量分配组合 diffuse、specular 与其他分量
再执行相应的显示处理

它避免每个片元实时积分许多方向，但纹理查询、插值、局部探针混合以及数据更新仍有成本。“没有实时采样积分”不等于没有任何纹理采样。

误差与遮挡

上排是参考，下排是 Split Sum；从左到右反射逐渐从清晰变宽，两组在主要颜色与光照结构上接近。它展示该环境和材质条件下的近似效果，不能作为所有方向、所有环境逐像素一致的保证。

误差包括光照与 BRDF 的相关性被分离，预过滤中观察角变化被简化，以及有限层级、有限表分辨率和积分样本带来的误差。掠射拉长高光、极亮小光源或不符合建表模型的材质，都值得单独检查。

本篇始终设 $V=1$。环境图有许多方向，若为每个方向分别建立阴影图，成本会随数量增长；若采样方向检查可见性，局部遮挡又可能具有高频细节。后续的环境阴影将讨论主光源投影、AO、预计算传输和射线查询等预算取舍，这里的 Split Sum 本身不包含完整环境阴影。