实时渲染-03：统计阴影与距离场

过滤对象

PCSS 要先寻找遮挡物，再按半影宽度执行 PCF。两个阶段都在区域内查深度，软阴影越宽，逐纹素访问的开销越值得关注。能否先保存一份区域统计量，之后用较少查询回答这些问题？

先明确要加速的运算。当前接收点为 $\mathbf p$，阴影坐标为 $\mathbf u$，比较深度为 $t$，则

$$V(\mathbf p)=\sum_jw_j\mathbf1[D(\mathbf u+\boldsymbol\delta_j)\ge t], \qquad w_j\ge0,\quad \sum_jw_j=1.$$

这里过滤的是同一接收深度下的多次比较。它与下面两种运算均不同：

$$\mathbf1\left[\sum_jw_jD(\mathbf u+\boldsymbol\delta_j)\ge t\right],$$

$$\sum_jw_jV(\mathbf p_j).$$

第一种先平均深度，最后仍只有一个二值判断；第二种混合了不同接收点的可见性，它们可能有不同深度甚至属于不同物体。统计阴影仍然要估计第一式的比例，不能把这三种运算交换顺序。

深度分布

把窗口中的深度值看成随机变量 Random Variable $Z$。按过滤权重随机选一个纹素，得到的深度就是一次样本。PCF 可见率于是等于该窗口中深度不小于接收深度的比例：

$$V(t)=P(Z\ge t).$$

这与一个熟悉的统计问题相同：已知一组学生分数，怎样求超过某个分数的人数比例？拥有全部分数或直方图时可以直接数；只知道均值、方差时，则需要额外的分布模型或概率界。

累积分布函数 Cumulative Distribution Function，CDF 为 $F(t)=P(Z\le t)$。连续分布中 $P(Z\ge t)=1-F(t)$；离散深度可能有相等值，应按深度比较约定处理，若相等视为可见，则使用 $1-F(t^-)$，也就是扣除严格小于 $t$ 的样本比例。

左图在概率密度 Probability Density Function，PDF 下累计面积，右图将这种累计量画成随阈值单调增加的 CDF。左侧灰区截止在 $x=1$，右侧虚线在 $x=0$，两者不是同一阈值的数值标注。钟形分布只用于展示密度与累计概率的关系，真实深度未必服从正态分布。

均值与方差

均值 Mean $\mu=\mathbb E[Z]$ 表示区域深度的平均位置，方差 Variance 表示深度围绕均值的分散程度：

$$\sigma^2=\mathbb E[(Z-\mu)^2] =\mathbb E[Z^2]-\mu^2.$$

展开平方并用 $\mathbb E[Z]=\mu$ 就得到第二个表达式。它的重要之处在于：不必每次查询都知道区域内所有深度，只要能取得深度平均与深度平方平均，便能计算方差。

方差阴影贴图 Variance Shadow Map，VSM 因此在建图时保存 $z$ 和 $z^2$，例如放在纹理两个通道中。对相同区域、相同权重过滤后，读回

$$m_1=\sum_jw_jz_j,\qquad m_2=\sum_jw_jz_j^2, \qquad \sigma^2=m_2-m_1^2.$$

先平方再平均与先平均再平方不同，这个差恰好记录了深度的变化。常见实现将方差限制为非负，并设置适当的小下限，以处理浮点误差；过大的方差下限也会使阴影过亮，不能无条件增大。

概率上界

均值和方差并不足以恢复全部分布。VSM 使用单侧切比雪夫不等式 One-sided Chebyshev Inequality，也称 Cantelli 不等式，给出 $t>\mu$ 时的尾部概率上界：

$$P(Z\ge t)\le \frac{\sigma^2}{\sigma^2+(t-\mu)^2}.$$

可以从一个非负平方量看出这个界的来由。令 $Y=Z-\mu$，$a=t-\mu>0$，对任意 $s\ge0$，在事件 $Y\ge a$ 上有 $(Y+s)^2\ge(a+s)^2$，因此

$$\sigma^2+s^2 =\mathbb E[(Y+s)^2] \ge P(Y\ge a)(a+s)^2.$$

将右侧概率解出，再选择使界最紧的 $s=\sigma^2/a$，就得到上面的分式。推导没有假设正态分布，所以无需计算正态 CDF 或 erf。

实时实现把这个上界作为可见率近似：

$$\widehat V(t)= \begin{cases} 1,&t\le\mu,\\[4pt] \dfrac{\sigma^2}{\sigma^2+(t-\mu)^2},&t>\mu. \end{cases}$$

$t\le\mu$ 时返回 $1$ 是常见处理，不意味着所有纹素都在接收点之后。$t>\mu$ 时公式也只是上界；真实可见率可能小得多。这些差异会导致后面的漏光问题。

遮挡均值

Variance Soft Shadow Mapping，VSSM 将方差统计进一步用于 PCSS。最终的 PCF 可见率已有近似，第一步还需要遮挡物的平均深度；它不是整个窗口的平均值。

例如接收深度 $t=7$，窗口中深度小于 $7$ 的样本才是遮挡物，深度 $8,9$ 的样本不应加入遮挡均值。令 $p=P(Z\ge t)$ 为非遮挡比例，遮挡与非遮挡的条件均值分别为 $z_b,z_u$，窗口均值满足

$$\mu=(1-p)z_b+pz_u.$$

这是按两类样本数量展开平均值的恒等式。VSSM 用概率界近似 $p$，并在接收面近似平面的条件下取 $z_u\approx t$，于是

$$\widehat z_b\approx\frac{\mu-pt}{1-p}.$$

这样就能用窗口统计量估计遮挡均值，再按 PCSS 的半影公式决定最终过滤范围。两个近似都需要条件：非遮挡表面不一定恰在深度 $t$，概率界也不一定准确；当 $p\approx1$ 时，分母很小，须回退到无有效遮挡或其他安全处理，不能直接产生很大的非法深度。

所有统计应采用一致深度定义。尤其在透视投影下，对投影深度求平均后再线性化，一般不等于平均真实线性深度；用于半影几何的平均距离需有相应的数据或明确的额外近似。

范围查询

现在的任务变成查询某区域的 $m_1,m_2$。Mipmap 通过逐级平均，预先保存不同尺度的近似统计；运行时选择相近层级并插值，就能用少量访问读取大范围均值。

图中瓢虫和其他花纹逐步变成较粗色块，最后的 $1\times1$ 保存整体平均。用于统计阴影时，平均的数据换成 $z,z^2$。Mipmap 对位置和窗口覆盖的近似仍然存在，三线性插值不能使任意矩形查询变为精确值。

求和面积表 Summed-Area Table，SAT 则保存二维前缀和。先看一维：输入 $1,3,5,3,7,1,3,8,6,4$，累计和为 $1,4,9,12,19,20,23,31,37,41$。要查询第 4–6 项的和，取 $20-9=11$，不用再次遍历 $3,7,1$。

二维采用半开区间约定，令

$$S(x,y)=\sum_{0\le i<x,\,0\le j<y}D(i,j).$$

轴对齐矩形 $[x_0,x_1)\times[y_0,y_1)$ 的和为

$$\begin{aligned} Q={}&S(x_1,y_1)-S(x_0,y_1)\\ &-S(x_1,y_0)+S(x_0,y_0). \end{aligned}$$

蓝色是目标矩形。先取包含它的大前缀区域，再减掉左侧和上侧多余部分，最后加回被减去两次的左上交叠区。四次表查询得到总和，除以矩形纹素数得到平均值；深度平方另建同样的表。

SAT 构建和存储为 $O(WH)$，矩形查询为 $O(1)$。它只直接处理轴对齐矩形，有限精度下大前缀和相减还可能损失有效数字。动态场景需要重建派生统计，GPU 并行扫描、带宽和精度都是成本；“查询常数时间”不等于全部算法没有预处理。

漏光问题

同一个均值与方差可以对应很多分布。如果窗口同时包含前方遮挡物、背景和接收面，深度经常是多峰的。一个概率上界或简单单峰模型可能把遮挡比例估小，使本应挡住的光被保留下来，这称为漏光 Light Leaking。

蓝线表示多峰分布，红线用单峰形状说明简化后的差异；虚线右侧的累计面积不同，估出的非遮挡比例也不同。这里的红线是直观示意，VSM 实际使用 Cantelli 界，并未真的拟合一条高斯曲线。

一个简单反例是深度值 $1,9$ 各占一半，接收深度 $t=5$。均值也是 $5$，常见分支返回完全可见，但真实比较只有一半通过。误差来自分布信息不足，而非滤波数据一定算错。

图中红框标出阶梯与重叠面附近的异常。即便区域矩查询准确，$z_u\approx t$ 的接收平面假设也可能不成立。提高分布表达能力不能自动修复非平面、缺失几何或错误的搜索范围。

高阶矩

矩 Moment 是分布的积分统计。这里采用原始矩 $m_k=\mathbb E[Z^k]$；VSM 保存前两阶，高阶矩可以进一步约束分布形状。

矩阴影贴图 Moment Shadow Map，MSM 常存 $z,z^2,z^3,z^4$。平均后得到四个矩，再由这些统计估计阈值两侧的概率。因为矩仍能线性过滤，所以可以继续使用 Mipmap、模糊或其他适当的加权查询。

蓝色阶梯是逐样本 PCF 对应的基准累计比例，红、青、绿依次使用二、三、四阶矩。绿色在这组分布中更接近阶梯，尤其能保留两个明显跳变之间的平台。它不意味着四个矩能够精确恢复任意连续或多峰分布。

有限个矩留下的是一组可能分布。常见 MSM 从这些分布中求遮挡比例的紧下界，用它近似阴影；对应可见率仍偏向上界。某些只有少量离散深度的情形可由四矩确定，而一般情形仍有不确定性。四通道存储、重建运算和数值稳定性是额外代价。

矩的求解

可以用 Hamburger 四矩 MSM 的构造理解“从矩得到比例”具体在做什么。将 $m_0=1$，构造

$$B=\begin{pmatrix} 1&m_1&m_2\\m_1&m_2&m_3\\m_2&m_3&m_4 \end{pmatrix}.$$

这个矩阵记录二次多项式的平方平均：任意系数 $\mathbf a$ 都有

$$\mathbf a^TB\mathbf a =\mathbb E[(a_0+a_1Z+a_2Z^2)^2]\ge0.$$

因而合法矩对应对称半正定矩阵。对于正定且不退化的情形，给定查询深度 $t$，先解

$$B\mathbf c=\begin{pmatrix}1\\t\\t^2\end{pmatrix},$$

再求二次多项式 $c_0+c_1z+c_2z^2=0$ 的两根 $a,b$。构造在 $t,a,b$ 三个深度上有质量的候选分布，权重由

$$\begin{pmatrix} 1&1&1\\t&a&b\\t^2&a^2&b^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_t\\w_a\\w_b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\m_1\\m_2\end{pmatrix}$$

确定。特定多项式根的构造使该候选也符合高阶矩约束；把严格位于 $t$ 之前的权重相加，得到这一矩问题的遮挡下界。

查询并解码过滤后的四阶矩
对量化后的矩进行适当正则化
构造3×3矩阵 B，检查退化与数值条件
求解 B * c = (1, t, t²)
求二次多项式的两个实根 a、b
求三个候选深度的权重
累加小于接收深度 t 的权重作为阴影估计
处理异常值并将最终阴影限制到合法区间

若矩阵奇异，会存在非零二次多项式 $q$ 使 $\mathbb E[q(Z)^2]=0$；非负平方的平均为零，意味着分布只能落在 $q$ 的零点上，最多对应两个离散深度。这解释了四矩为何能够充分表达某些只有两层深度的情况，也说明不能在该特例里继续直接求矩阵逆。

实际实现可用 Cholesky 分解，将对称正定矩阵分成三角因子的乘积，再顺序求解；并按 $t$ 与两根的位置直接计算分支，减少通用求逆。矩阵近奇异、二次系数接近零或量化使矩失去合法性时，需正则化与回退。这一形式允许候选深度位于实数轴上；限制到 $[0,1]$ 的 Hausdorff 版本有不同分支，不能随意把根裁到区间后继续套同一推导。

四矩可使用专门的线性或仿射变换改善量化分布，因为仿射变换在归一权重下可以与平均交换。把两个 FP16 的原始位直接塞成一个 FP32，再按普通浮点数过滤，却不保留这个性质。存储格式和统计语义必须一起设计。

距离场

除了把深度统计存成二维贴图，也可以直接保存空间中到几何的距离。有符号距离场 Signed Distance Field，SDF 在物体外为正、内部为负、表面为零，绝对值表示到最近边界的距离。

例如半径为 $R$、中心为 $\mathbf c$ 的球有

$$d(\mathbf p)=\|\mathbf p-\mathbf c\|-R.$$

它比单张阴影图保留更多空间关系，可以从不同位置查询，但三维数据的存储和构建通常更贵。

上排 A、B 的边界位置不同，直接混合黑白图会在中间产生灰色区域；下排先转换到连续距离值，再插值，两侧正负范围的零分界便移动到新位置。最右图将这个零分界重新显示为形状，所以得到的是移动的边界，而不只是两个形状的半透明叠加。

若 $d_s=(1-s)d_A+sd_B$，需要取 $d_s=0$ 的等值面恢复形状。图中的 $\mathrm{SDF}^{-1}$ 表示这种几何提取，不是普通的可逆函数。插值后的场未必仍是严格的最近距离场；若要拿来步进，需要额外确认它不会高估安全距离，或采用保守界。

球体追踪

在物体外的点 $\mathbf p$，若真实距离为 $d(\mathbf p)>0$，以它为半径的开球内没有表面。射线从该点出发，走不超过这个距离便不会穿过最近表面；这就是球体追踪 Sphere Tracing 的基础。

远离树木时，安全球大，一步能走得较远；接近树冠后，球变小，步长随之缩短。算法查询的是当前位置到任意几何的最近距离，不能预先认为最近表面一定就在射线方向上。

射线方向 $\mathbf r$ 需归一化，令 $\mathbf p(t)=\mathbf o+t\mathbf r$，则

$$t_{j+1}=t_j+d(\mathbf p(t_j)).$$

从表面偏移后的起点开始，令 t 为小的正值
重复有限次数：
    查询当前位置的距离 d
    若 d 不大于命中阈值，报告遮挡
    若 t 已超过光源或追踪范围，报告未发现遮挡
    t = t + 保守安全距离
达到迭代上限时，按实现策略处理未完成查询

近切线、细小几何和粗网格距离场可能需要很多步。起点自交、负距离、纹理插值误差和非均匀缩放也需处理；增加最小步长虽然能避免停滞，却可能跳过薄物体，不能将任意正步长都称为安全。

安全角

同一个空球还给出方向信息。观察点为 $\mathbf o$，射线上的点为 $\mathbf p$，空球半径是 $d(\mathbf p)$，中心距离为 $t=\|\mathbf p-\mathbf o\|$。从观察点向球作切线，形成半角 $\theta$：

$$\sin\theta=\frac{d(\mathbf p)}t, \qquad \theta=\arcsin\frac{d(\mathbf p)}t.$$

这是直角三角形中的半径除以斜边。要求 $t>0$，比例在合法范围内；很小的角度下 $\sin\theta\approx\theta$，便能直接用 $d/t$ 估计角尺度。

蓝、红、橙三个球分别对应 $p_1,p_2,p_3$。同样一个球半径，离观察点越远，张开的角也会越小；需要沿追踪路径比较半径与距离的比值，而非只比较绝对距离。最小安全角意味着附近遮挡物最接近所查询的方向束。

软影估计

一个常见的距离场软阴影启发式，将沿路的最小比例转换成可见率：

$$\widehat V=\min_j\left\{1,\,k\frac{d(\mathbf p_j)}{t_j}\right\}.$$

真正命中遮挡物时取 $0$；没有命中时，这个量根据离障碍物的角度间隙减弱直接光。它利用了安全角与光源角范围的关系，但并没有精确积分一个面光源所有可见方向。

上图 $k=2$，过渡较宽；中图 $k=8$；下图 $k=32$，阴影更接近硬边。$k$ 越大，较小的角间隙就能让结果达到 $1$，因此半影越早结束。它控制角尺度，不能简单当作物体的材料粗糙度。

沿球体追踪同时维护最小 $kd/t$，就能得到硬遮挡与近似半影，额外工作相对较少。完整面光源的大小、方向、多个遮挡物以及采样步长仍会影响精度，不能把这个比例解释成严格的未遮挡面积百分比。

存储与误差

建筑、树木、车辆不再显示真实材质颜色，而是用于观察距离场所表达的几何及查询行为。轮廓、薄片和复杂区域能帮助检查体素分辨率与追踪开销；具体可视化的灰度取决于实现，不能直接当作物体反射率或一个统一线性距离值。

距离场阴影依赖几何预处理与额外存储。刚体变换可以复用物体局部场，形变或拓扑变化则可能要求更新。粗采样会漏掉薄几何，三线性插值也不保证恢复精确距离；若距离被高估，步进可能穿透表面。

非均匀缩放改变不同方向的距离，不能只乘任意一个缩放因子继续宣称安全。实现需要相应的保守缩放、距离下界或更准确构建。速度、质量与内存取决于几何、分辨率、步数及数据组织，距离场并非对所有场景都比阴影贴图便宜。

字体应用

同一类表示也能用于文字。二维 SDF 保存到字形轮廓的有符号距离，绘制时依据零分界确定内外，并用像素足迹决定过渡宽度。

图中的文字是被研究的渲染对象：细笔画、衬线和曲线边缘在放大后仍按距离场重建，不是把普通正文截图用来替代 Markdown。若内部距离为负，可用

$$\alpha=1-\operatorname{smoothstep}(-w,w,d)$$

计算覆盖过渡，$w$ 按屏幕空间导数或相应像素尺度选择。缩放时重新判断边缘，比直接放大已光栅化颜色图更容易保持平滑；原距离纹理仍有有限分辨率，过尖角、细笔画和极端缩放不保证无误差，因此“无限分辨率”是效果描述，不能理解为有限数据包含任意几何细节。