实时渲染-02：阴影贴图与软阴影

光源可见性

一个表面被相机看见，不代表它也被光源看见。直接照明中的阴影，要回答的是第二个问题：从表面点朝光源看，途中是否有其他表面挡住光？

阴影贴图 Shadow Map 先从光源方向记录最近的表面，再用这份深度判断其他点是否在它后面。它用一张二维图代替逐点与全部几何求交，适合光栅化管线。建图仍然要处理场景几何，但查询阶段只需位置变换与纹理访问，不必再遍历模型。

对理想点光源或平行方向光，一点能看见光源或被挡住，直接光的可见性 Visibility 可以记为 $1$ 或 $0$ 。之后将对应光源的着色贡献乘以该值，而不是把全部间接照明、发光项也统一清零。

两趟渲染

第一趟把光源当作观察位置，渲染一张深度纹理。每个纹素保留该方向最靠近光源的表面深度；颜色、BRDF 和相机最终看到的亮度暂时都不需要。

第二趟从相机渲染场景。对相机可见的表面点 $\mathbf p$ ，再将它变换到光源的投影中，找到对应阴影纹素，比较两份光源深度。

相机可见点也位于光源看到的最近表面

白线表示相机的观察，黄色线表示光源方向。左下白点与光源记录的最近表面重合，因此重投影后的深度匹配，该点能得到直接光。

相机看见的表面点位于光源的最近遮挡物之后

这里相机看见下方白点，但光源沿同一方向先遇到上方绿色物体。相机点重投影后的深度大于阴影图记录的深度，说明它位于遮挡物后面。比较的两份深度都从光源定义，不是拿相机到点的距离直接与光源到点的距离比较。

光源趟：
    从光源观察场景，对每个阴影纹素记录最近深度 D
相机趟：
    得到当前可见表面点 p
    将 p 投影到光源坐标，得到纹理位置 u 和接收深度 t
    查询 D(u)
    若 t 不大于 D(u) 加比较容差，直接光可见
    否则，该光源的直接光被遮挡

移动物体可以每帧重新建图，不要求提前固定全部几何。一个光源的投影只覆盖相应范围；点光源若要覆盖所有方向，通常需要立方体等全向表示，不能用一个有限视锥代表四周所有光线。

深度约定

设点的世界齐次坐标为 $\mathbf p_w$ ，光源视图和投影矩阵为 $V_l$ 、 $P_l$ ，先得到

$\mathbf c=P_lV_l\mathbf p_w, \qquad \mathbf q=\frac{\mathbf c_{xyz}}{c_w}.$

下面采用传统 OpenGL NDC 的 $[-1,1]$ 区间，并将近平面映射到深度 $0$ 、远平面映射到 $1$ ，则

$\mathbf u=\frac12(\mathbf q_{xy}+\mathbf1), \qquad t=\frac12(q_z+1).$

第一趟的深度纹理也必须使用同一套约定。采用 reversed-Z 或其他深度映射时，比较方向相应改变，不能直接照搬上式对应的“小于等于”判断。背向光源、裁剪范围外、 $c_w$ 非法或 UV 越界的点，需要按光源覆盖范围与其他阴影图处理。

透视投影的深度通常不等于实际距离。设光源近远面距离为正值 $n,f$ ，正向线性深度为 $z$ ，传统透视深度可写为

$d(z)=\frac f{f-n}-\frac{fn}{(f-n)z}, \qquad z(d)=\frac{nf}{f-d(f-n)}.$

深度测试可以统一比较 $d$ ；后面用相似三角形估计半影时，则要使用有几何长度意义的线性深度 $z$ 。把投影深度直接当作光源与遮挡物的距离，会让软硬变化失真。

自遮挡

实际建图只在有限纹素位置存深度，查询却发生在表面任意位置。同一阴影纹素覆盖一片表面，其深度在离散记录中近似为一个值；如果表面倾斜，这片区域的真实深度一直变化，一部分点就可能被误判为在记录深度之后。

地面条纹与斜面深度离散造成的自遮挡

左侧地面出现大量条纹，右侧手绘图把表面和离散记录关系画出来：从光源看，每个格子覆盖的表面区间被一个深度代表，相机查询的位置却不一定正好位于该采样点。误差把同一表面的一部分判为“被自己挡住”，形成 Shadow Acne。

掠射角时，光线与表面接近平行，一个纹素覆盖的表面跨度大，局部深度误差更明显；正入射时通常较轻。深度精度、采样位置和变换计算也会影响结果，因此只提高分辨率不一定能完全消除自遮挡。

偏移与脱离

最常见的处理，是给比较加入深度偏移 Depth Bias。沿用近处深度小的约定，可以写成

$V=\mathbf1[t-b\le D(\mathbf u)],\qquad b>0.$

$\mathbf1[\cdot]$ 是条件成立取 $1$ 、否则取 $0$ 的指示函数。偏移允许接收深度略大于记录值，减少离散误差带来的自遮挡。它是在控制比较阈值，与阴影滤波宽度是不同参数。

倾斜表面可能需要更大的偏移。工程中可使用常量项加深度斜率项，或由法线与光方向构造角度相关偏移；不同方法对分辨率、投影和几何尺度的依赖不同，需要一致的单位和上限。

偏移减少条纹，同时使接触阴影可能与物体脱离

左图地面条纹减少，但脚边的阴影与物体接触关系变弱。右图橙色区间表示被容差忽略的深度差：偏移过大时，原本真实的近距离遮挡也会被当作数值误差。这个问题称为阴影脱离 Detached Shadow，也常叫 Peter Panning。

调参需要同时观察表面条纹与接触关系，不能把“阴影中没有条纹”作为唯一正确标准。薄几何、低角度光和大滤波窗口往往需要更细致的处理。

第二深度

另一个思路是额外记录光线穿过封闭物体的深度信息，并在第一层表面与第二层之间选比较深度，例如

$z_{\rm mid}=\frac{z_1+z_2}{2}.$

这类 Second-Depth Shadow Mapping 避开紧贴第一层表面的比较值，使真实前表面不容易落到阈值之后。

前表面、第二深度与中点深度的对照

左图红线靠近物体的受光前表面，中图展示第二深度，右图把中点放到物体内部。若物体封闭且前后表面对应合理，这能给前表面留下容差空间；单层地板、孔洞或不匹配的几何层则不能保证存在合适的内部中点。

它要求可靠的 Watertight 几何，即没有破损开口、能够定义内外的封闭表面，还增加深度提取、存储和更新成本。实时系统需要比较实际帧时与收益：同为 $O(N)$ 的两个算法，常数、带宽和趟数仍可能相差很大。

阴影走样

自遮挡之外，有限分辨率还会使投影轮廓出现阶梯状边缘。一个阴影纹素可能在相机图像上覆盖很多像素，放大后就会直接看到离散边界。

阴影纹素在墙面上形成块状轮廓

图中墙上的人物阴影呈明显阶梯，方框标出局部边缘。这里主要是阴影轮廓的采样不足，与上一节表面深度比较造成的条纹需要分开处理。

提高阴影分辨率、改善投影范围和使用级联等策略可以改善采样分配，代价是更多显存或建图成本。之后介绍的 PCF 从比较结果的过滤入手处理边缘，不能把所有走样都仅靠一个大偏移消除。

乘积近似

为什么实时着色经常能先算光照，再乘一个阴影系数？可以从一个常见的积分近似理解：

$\int_\Omega f(x)g(x)\,\mathrm dx \approx \frac{\int_\Omega f(x)\,\mathrm dx}{\int_\Omega1\,\mathrm dx} \int_\Omega g(x)\,\mathrm dx.$

右侧用 $f$ 在积分域的平均值替代其逐点变化，然后保留 $g$ 的积分。分母就是积分域的测度，是必要的归一化。例如 $f(x)=2$ ， $\Omega=[0,3]$ ， $\int f=6$ 、 $\int1=3$ ，平均值仍是 $2$ ，与直接提出常数完全一致。

它不是一般积分恒等式。用均匀域平均 $\mathbb E_\Omega$ 表示，有

$\int_\Omega fg =|\Omega|\mathbb E_\Omega[f]\mathbb E_\Omega[g] +|\Omega|\operatorname{Cov}_\Omega(f,g).$

协方差 Covariance 衡量两者相对各自均值是否同时变大或变小；近似丢掉的正是这一相关性项。一个量在相关区域内接近常数时，丢掉它的变化通常更有根据。“光滑”在这里强调变化幅度小，只有连续或可导还不够。

若 $g$ 只有很小的支持域 Support，即只有那片区域产生显著贡献，还应在这片有效区域考察 $f$ 的变化。不能仅因 $g$ 集中在一个点附近，就把整个大域的 $f$ 平均值当作该点的值。

在光照问题中，令

$G(\boldsymbol\omega) =L(\boldsymbol\omega)f_r(\boldsymbol\omega,\boldsymbol\omega_o) \max(0,\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega),$

则 $\int_{\Omega_l}VG$ 可近似为平均可见率乘 $\int_{\Omega_l}G$ ，这里 $\Omega_l$ 应取产生该光照贡献的相关方向域。理想点光源或方向光只有一个入射方向，可见性与该方向的着色贡献直接相乘；扩展面光源则是近似。

辐亮度均匀的较小面光源、漫反射响应，以及光源方向范围内变化不大的余弦，使近似较合理。强烈变化的环境光和窄高光则可能使遮挡与着色响应高度相关：遮住最亮方向和遮住暗方向，即便遮挡面积相同，也不应有相同照明结果。

硬影与半影

面光源具有有限面积。从接收点看，可能整块可见、整块被遮挡，也可能只看见一部分。完全被挡住的区域称为本影 Umbra，部分可见的过渡区称为半影 Penumbra。

太阳虽然距离很远，仍有有限角直径，因而通常能形成半影；理想方向光只有单一方向，是不同的模型。真实半影来自光源可见范围连续变化，不等于对一张完成的硬阴影图做任意模糊。

直接从面光源多处建立可见性再积分，成本较高。PCSS 使用一张从光源中心生成的阴影图，依据遮挡几何估计过滤宽度，得到软阴影近似。先理解它所使用的 PCF，再看宽度怎样决定。

PCF

Percentage-Closer Filtering，PCF 原本用于缓解阴影边缘走样。对同一个接收点，在阴影图的一个邻域内多次做深度比较，再对 $0/1$ 结果求平均：

$V_{\rm PCF}(\mathbf p) =\sum_{j=1}^{N}w_j\, \mathbf1[t(\mathbf p)-b\le D(\mathbf u(\mathbf p)+\boldsymbol\delta_j)], \qquad w_j\ge0,\quad \sum_jw_j=1.$

接收点和它的比较深度保持固定，变化的是阴影纹理中的查询位置。 $w_j$ 是过滤权重，等权时为 $1/N$ 。

对当前接收点查询阴影图中的邻域深度

蓝点表示当前查询所对应的位置，黑框强调邻域。若九次比较为

$\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix},$

平均结果为 $6/9\approx0.667$ 。它表示过滤后的可见率，不再只有完全明或完全暗两种结果。

比较与平均不能交换顺序。例如邻域深度为 $1,3$ ，接收深度为 $2$ ，逐个比较再平均得到 $(0+1)/2=0.5$ ；先平均深度得到 $2$ ，再比较却得到 $1$ 。深度平均仍可用作统计量，但它不是 PCF 的可见率计算。

对最后渲染出的阴影区域做模糊也不同：那会混合不同相机像素、不同接收点的深度与材质；PCF 始终在当前接收点处改变阴影图查询。后处理可能掩盖某些边缘，却不能恢复已经丢失的几何采样。

接触软化

过滤区域小，边缘较锐；区域大，过渡较宽。固定的大 PCF 窗口虽然能产生模糊边缘，却不能自动表现真实光源与遮挡物的关系。

笔尖附近阴影锐利，离纸面较远的笔身投影较软

笔尖接近纸面，接触处阴影较锐；笔身离纸面更远，投影边缘更宽。这里“远近”首先指造成该处阴影的遮挡物与接收面之间的间距，不是简单按相机距离决定模糊程度。

Percentage-Closer Soft Shadows，PCSS 因此采用位置相关的 PCF 窗口。需要依次回答：哪些表面挡住当前点，它们平均有多远，据此该过滤多大。

半影估计

用平行光源平面、遮挡平面与接收平面的近似推导。设光源宽度为 $w_l$ ，从光源量到遮挡物和接收面的线性深度分别为 $z_b$ 、 $z_r$ 。

光源、遮挡物与接收平面形成的相似三角形

绿色距离是 $z_b$ ，蓝色距离是 $z_r$ ，两者之差是遮挡物到接收面的间隔。光源两端经过同一遮挡边界，落到接收面上的位置不同；图中 $w_{\rm penumbra}$ 就是这段半影宽度。

相似三角形给出

$\frac{w_p}{w_l}=\frac{z_r-z_b}{z_b}, \qquad w_p=w_l\frac{z_r-z_b}{z_b}.$

光源越宽，半影越宽；遮挡物靠近接收面时 $z_r-z_b$ 趋近零，阴影趋硬；遮挡物接近光源时，比例增大。这里 $z_b$ 是光源到遮挡物的深度，不是遮挡物到接收面的间距。

真实遮挡物可能有多层、弯曲或厚度，PCSS 用搜索区域内遮挡样本的平均深度 $\bar z_b$ 代替一个理想遮挡平面。这正是它的近似来源之一，并不能精确恢复任意面光源下所有遮挡关系。

由接收面上的几何宽度转为阴影纹理尺度，还要考虑投影。若阴影近平面距离为 $n$ 、该平面宽度为 $W_n$ ，相应 UV 宽度约为

$w_{\rm uv}=\frac{n}{z_rW_n}w_p.$

乘阴影图宽度才得到纹素宽度，使用半径时再除以 $2$ ；竖直方向应使用自己的视锥尺寸。几何宽度、UV 宽度和采样半径需要始终区分。

搜索范围

平均遮挡深度只对比接收点更靠近光源的样本求平均：

$\mathcal B=\{j\mid z_j<z_r-b_z\}, \qquad \bar z_b=\frac1{|\mathcal B|}\sum_{j\in\mathcal B}z_j.$

$b_z$ 是在线性深度中定义的容差；若先用投影深度比较，应使用相应投影容差，之后再转换参与几何估计。没有遮挡样本时，这次搜索估计光源可见，不应对空集合做平均。

搜索区域与最后的过滤区域不是同一个问题。可以先用固定的 $5\times5$ 区域搜索，但它可能错过较大光源的相关遮挡物。更有依据的方法，是从接收点向光源范围连线，看这些线在阴影图所在平面上覆盖多大区域。

接收点朝面光源形成的锥体覆盖阴影图红色搜索区

黄色面是光源，灰色面是阴影图的投影平面，红色区域是当前接收点需要搜索的范围。它包含可能挡住该点与光源连接的表面位置；最终 PCF 窗口则要在得到平均遮挡深度后才决定。

若光源位于 $z=0$ 、阴影近平面为 $z=n$ 、接收点为 $z=z_r$ ，从接收点看到的光源宽度投影到近平面时为

$w_{\rm search}=w_l\frac{z_r-n}{z_r}.$

这是平行平面下的线性插值关系，再除以 $W_n$ 转成 UV 范围。不同光源投影和实现会采用相应启发式，不能把固定纹素半径推广到所有尺度。

PCSS流程

核心步骤是搜索遮挡物、估计半影、按估计范围执行 PCF。每个接收点独立选择窗口：

把接收点投影到光源，得到 UV 和一致定义的深度
由光源尺寸与接收点深度决定 blocker-search 区域
在该区域查询深度，只收集比接收点靠近光源的样本
若没有 blocker，返回可见率 1
对 blocker 的线性深度求平均
用相似三角形估计接收面半影宽度
把宽度转换为阴影图的 UV / 纹素尺度
在这个范围内执行多次深度比较并平均，返回 PCF 可见率

接触处窗口小，离开遮挡物后窗口变大，因此能产生接触阴影逐渐软化的效果。树干接近地面的阴影与树叶从较高处投向地面的阴影，就应有不同过渡宽度。