物理材质

基于物理的渲染 Physically Based Rendering，PBR 涉及光源、材质、光传输和相机的整条成像过程。实时渲染中常用“PBR”指材质工作流，强调由反射规律组织参数与着色；名字本身不保证每个近似都严格物理准确。

本篇处理表面反射。微表面模型描述局部粗糙度如何形成镜面反射瓣；Disney Principled 则将多种反射效果整理为美术可控参数。云、皮肤和毛发还涉及体积散射、次表面传输或更复杂的结构，不能单靠一个表面 BRDF 完整描述。实时实现也需要在材质种类、精度、存储与逐像素开销之间选择。

微面反射

微表面模型 Microfacet Model 将宏观表面视为许多不同朝向的小镜面。表面看起来粗糙，来自微面朝向的变化；每个微面自身仍作镜面反射。

入射方向 ωi\boldsymbol\omega_i、出射方向 ωo\boldsymbol\omega_o 都取从表面指向外部的单位向量。能将这两方向连接成镜面反射的微面法线是半程向量 Half Vector：

h=ωi+ωo∥ωi+ωo∥.\mathbf h=\frac{\boldsymbol\omega_i+\boldsymbol\omega_o} {\|\boldsymbol\omega_i+\boldsymbol\omega_o\|}.

其余朝向的微面不会将该束入射光反射到当前观察方向。统计这些合适微面的面积，并考虑界面反射与遮挡，得到常用单次反射模型

fss(ωi,ωo)=F(ωi⋅h)D(h)G(ωi,ωo)4(n⋅ωi)(n⋅ωo).f_{\rm ss}(\boldsymbol\omega_i,\boldsymbol\omega_o)= \frac{F(\boldsymbol\omega_i\cdot\mathbf h)D(\mathbf h) G(\boldsymbol\omega_i,\boldsymbol\omega_o)} {4(\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i)(\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_o)}.

只在入射、出射均处于宏观表面正面时使用。FF 决定合适微面反射多少，DD 决定这种朝向的微面有多少，GG 扣除被其他微面挡住的路径。下标 ss 表示 Single Scattering：这里暂时只计算一次微面反射后离开表面的路径。

分母来自方向与投影面积的换算。固定入射方向，微面法线附近一小块 dωh\mathrm d\omega_h 映射为出射方向范围

dωo=4∣ωi⋅h∣ dωh.\mathrm d\omega_o=4|\boldsymbol\omega_i\cdot\mathbf h|\,\mathrm d\omega_h.

宏观面积 AA 中这类微面面积约为 AD(h)dωhAD(\mathbf h)\mathrm d\omega_h，截获入射功率的投影因子为 ωi⋅h\boldsymbol\omega_i\cdot\mathbf h。反射后除以宏观出射投影面积 A(n⋅ωo)A(\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_o) 和 dωo\mathrm d\omega_o，微面余弦与方向 Jacobian 中的对应因子抵消，得到 Lo=LiFGD dωi/[4(n⋅ωo)]L_o=L_iFGD\,\mathrm d\omega_i/[4(\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_o)]。再按 BRDF 定义除以入射投影因子 n⋅ωi\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i，就是上式。

这一推导说明分母不能随意换成经验常数。掠射时分母很小，也意味着必须正确处理可见微面与遮挡。

Fresnel

Fresnel 反射 Fresnel Reflectance 描述光在折射率不同的界面上有多少被反射。正视和斜视同一材质，反射比例不同；这与表面是否有金属色是两个问题。

电介质界面的偏振与非偏振Fresnel反射曲线

横轴是相对界面法线的入射角，纵轴是反射比例。空气进入折射率约 1.51.5 的电介质，正入射反射约 4%4\%；接近 90∘90^\circ 的掠射角 Grazing Angle 时，反射趋近一。蓝、绿曲线分别表示 s、p 偏振，红线是非偏振平均；p 偏振在 Brewster 角附近可降到零，不能把所有偏振分量都说成随角度单调增加。

对于无吸收电介质，Snell 定律给出 ηisin⁡θi=ηtsin⁡θt\eta_i\sin\theta_i=\eta_t\sin\theta_t。令 ci=cos⁡θic_i=\cos\theta_i、ct=cos⁡θtc_t=\cos\theta_t，两种偏振的反射率为

Rs=(ηici−ηtctηici+ηtct)2,Rp=(ηtci−ηictηtci+ηict)2,F=Rs+Rp2.R_s=\left(\frac{\eta_i c_i-\eta_t c_t}{\eta_i c_i+\eta_t c_t}\right)^2, \qquad R_p=\left(\frac{\eta_t c_i-\eta_i c_t}{\eta_t c_i+\eta_i c_t}\right)^2, \qquad F=\frac{R_s+R_p}{2}.

正入射时 ci=ct=1c_i=c_t=1，得到

F0=(ηi−ηtηi+ηt)2.F_0=\left(\frac{\eta_i-\eta_t}{\eta_i+\eta_t}\right)^2.

从高折射率到低折射率传播还可能出现全反射，不能继续对不存在的实折射角套上述数值。导体需要复折射率描述吸收，正入射常有较高且随波长变化的反射，可用 RGB 反射率近似其颜色。

球体中心与边缘处Fresnel反射比例的区别

中心附近接近正视，标出的 F0F_0 较低；边缘接近掠射，环境反射更强。这张图用于解释 Fresnel，不是移除几何遮挡项后的对照实验。

实时常采用 Schlick Approximation：

F(c)=F0+(1−F0)(1−c)5,c=ωi⋅h=ωo⋅h.F(c)=F_0+(1-F_0)(1-c)^5, \qquad c=\boldsymbol\omega_i\cdot\mathbf h =\boldsymbol\omega_o\cdot\mathbf h.

微面模型中的角度相对微面法线 h\mathbf h，不是直接使用宏观 n⋅ωi\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i。有色导体可以将 F0F_0 设为 RGB，逐通道计算；这仍是近似，不代替所有精确 Fresnel 行为。

法线分布

法线分布函数 Normal Distribution Function，NDF 统计各个朝向的微面面积。“Normal”指法线，不表示它一定是统计学上的正态分布。

微面法线的分布曲线及不同方向可视化

左图是方向截面的分布曲线，中图将方向密度映为圆盘明暗，右图表现复杂微面法线分布的方向形状；后两图不是两个材质球的最终着色。法线集中在宏观法线附近时，只有较窄的反射方向范围有贡献；分布更宽，反射瓣也更宽。

定义 D(m)dωmD(\mathbf m)\mathrm d\omega_m 为单位宏观面积上，法线位于该方向范围的微面面积。微面向宏观法线投影后的总面积等于宏观面积，因此满足

∫Ω+D(m)(n⋅m) dωm=1.\int_{\Omega^+}D(\mathbf m)(\mathbf n\cdot\mathbf m)\,\mathrm d\omega_m=1.

所以 DD 不是在普通立体角下积分为一的方向 PDF。采微面法线时，常见密度为 pm=D(m)(n⋅m)p_m=D(\mathbf m)(\mathbf n\cdot\mathbf m)，也可以采观察方向上的可见微面分布，以进一步减少无效样本。

粗糙度 Roughness 控制分布宽窄；它改变反射方向，不直接表示吸收比例。美术粗糙度 rr 与公式参数 α\alpha 也不总相同，常用 α=r2\alpha=r^2，但纹理输入、预过滤、LUT 与 BRDF 必须采用同一约定。

坡度表示

在宏观法线为 zz 轴的局部坐标中，将微面法线改写为两个坡度

sx=−mxmz,sy=−mymz,sx2+sy2=tan⁡2θm.s_x=-\frac{m_x}{m_z},\quad s_y=-\frac{m_y}{m_z}, \qquad s_x^2+s_y^2=\tan^2\theta_m.

Beckmann Distribution 假设这两个坡度具有各向同性高斯密度

ps(sx,sy)=1πα2exp⁡ ⁣[−sx2+sy2α2].p_s(s_x,s_y)=\frac1{\pi\alpha^2} \exp\!\left[-\frac{s_x^2+s_y^2}{\alpha^2}\right].

坡度平面面积与球面方向的关系为 dωm=cos⁡3θm dsxdsy\mathrm d\omega_m=\cos^3\theta_m\,\mathrm ds_x\mathrm ds_y。投影面积概率需一致：Dcos⁡θm dωm=ps dsxdsyD\cos\theta_m\,\mathrm d\omega_m=p_s\,\mathrm ds_x\mathrm ds_y，因此

DBeckmann(m)=exp⁡(−tan⁡2θm/α2)πα2cos⁡4θm.D_{\rm Beckmann}(\mathbf m)= \frac{\exp(-\tan^2\theta_m/\alpha^2)} {\pi\alpha^2\cos^4\theta_m}.

tan⁡2\tan^2 来自坡度的长度，cos⁡−4\cos^{-4} 来自球面与投影面积的换算。这解释了它为何不是将普通高斯曲线直接放到法线夹角上。α\alpha 越小，坡度越集中，外观接近镜面；严格 α=0\alpha=0 是理想镜面极限，有限密度公式不能直接除以零。

GGX长尾

GGX / Trowbridge–Reitz 使用更重的坡度尾部：

ps(s)=α2π(α2+∥s∥2)2.p_s(\mathbf s)=\frac{\alpha^2}{\pi(\alpha^2+\|\mathbf s\|^2)^2}.

经同样的 cos⁡−4\cos^{-4} 换算，得到

DGGX(m)=α2πcos⁡4θm(α2+tan⁡2θm)2=α2π[1+(α2−1)(n⋅m)2]2.D_{\rm GGX}(\mathbf m)= \frac{\alpha^2}{\pi\cos^4\theta_m(\alpha^2+\tan^2\theta_m)^2} =\frac{\alpha^2}{\pi[1+(\alpha^2-1)(\mathbf n\cdot\mathbf m)^2]^2}.

Beckmann与GGX分布的中心及尾部差异

图中橙色 GGX 曲线在偏离中心较多的位置仍有响应，蓝色 Beckmann 衰减更快。这种长尾 Long Tail 使高光周围保留更宽的反射范围。较尖的中心峰与较长尾部可以同时存在，不能只用一个模糊半径描述两种分布的差异。

Generalized Trowbridge–Reitz，GTR 进一步用指数 γ\gamma 控制尾部，可写成

Dγ(μ)=Cγ[1+(α2−1)μ2]γ,μ=n⋅m.D_\gamma(\mu)=\frac{C_\gamma} {[1+(\alpha^2-1)\mu^2]^\gamma}, \qquad \mu=\mathbf n\cdot\mathbf m.

归一化要求 2π∫01Dγ(μ)μ dμ=12\pi\int_0^1D_\gamma(\mu)\mu\,\mathrm d\mu=1。令 u=1+(α2−1)μ2u=1+(\alpha^2-1)\mu^2，得到

Cγ=(α2−1)(1−γ)π[(α2)1−γ−1],γ≠1,C1=α2−1πln⁡α2.C_\gamma=\frac{(\alpha^2-1)(1-\gamma)} {\pi[(\alpha^2)^{1-\gamma}-1]},\quad \gamma\ne1, \qquad C_1=\frac{\alpha^2-1}{\pi\ln\alpha^2}.

α=1\alpha=1 时取连续极限 C=1/πC=1/\pi。γ=2\gamma=2 得到 GGX，γ=1\gamma=1 具有更长尾部；较大 γ\gamma 在合适的宽度匹配后可以呈现接近 Beckmann 的形状。

不同GTR指数下高光尾部的变化

图中各曲线中心对齐以比较尾部，蓝色 γ=1\gamma=1 延伸最远，绿色 γ=2\gamma=2 次之，红色较快下降。该比较强调形状差异，不应将中心归一化后的曲线当成未经缩放的完整 NDF 能量。

微面遮挡

Shadowing 是微面前方的结构挡住入射光，Masking 是反射到观察者的路径被其他微面挡住。几何项 GG 同时描述这两类限制。

掠射时光线沿表面行进，遮挡更常见。若随意令 G=1G=1，微面模型的小投影分母与接近一的 Fresnel 可能使反射异常明亮。只调整 DD 或粗糙度不能替代可见性处理。

Smith Model 从微面高度和坡度统计近似可见比例。常用可分离形式为

G2(ωi,ωo)≈G1(ωi)G1(ωo).G_2(\boldsymbol\omega_i,\boldsymbol\omega_o) \approx G_1(\boldsymbol\omega_i)G_1(\boldsymbol\omega_o).

各向同性 GGX 的单方向形式可写为

G1(θ)=21+1+α2tan⁡2θ,G_1(\theta)=\frac{2}{1+\sqrt{1+\alpha^2\tan^2\theta}},

宏观背面方向取零。正视时它接近一，掠射时下降。若使用高度相关形式，记 Λ(θ)=(1+α2tan⁡2θ−1)/2\Lambda(\theta)=(\sqrt{1+\alpha^2\tan^2\theta}-1)/2，可取 G2=1/[1+Λi+Λo]G_2=1/[1+\Lambda_i+\Lambda_o]，与两份 G1G_1 乘积并不相同。DD、GG 和预计算表应按同一模型配套，不能将所有“Smith G”当成唯一的函数。

白炉测试

将不吸收的反射表面放在各方向相同的单位白色环境中，称为白炉测试 White Furnace Test。若完整模型守恒且互易，粗糙度可以改变光向哪些方向反射，但不应无故丢掉能量；在这个均匀环境下，出射结果应与白环境一致。

不同粗糙度的材质外观与单次微面白炉结果

上排在有结构的环境中观察粗糙度变化，下排才是均匀白环境测试。下排从左到右逐渐变暗，表明单次微面模型随粗糙度增加损失了更多能量；上排反射变模糊本身不能证明是否守恒。

GG 将被挡住的单次路径扣掉，这一步是必要的。但是那些光可能撞到第二个微面，继续反射后逃出；单次模型没有追踪后续路径，于是将它们作为损失处理。真实材质吸收也会减少能量，两种原因需要分开。

较平和较粗微面剖面中的遮挡与后续反弹

右侧较陡的微面结构使一次反射更容易朝其他微面传播，而非直接离开表面。图中的箭头示意方向与相互遮挡；实际多跳路径还需要继续求交与 Fresnel 反射。完整多重散射微面模型可以用随机行走计算，实时逐像素求值通常希望采用更便宜的近似。

缺失能量

先令 Fresnel 为一，排除材质吸收。定义单次模型在均匀单位环境下的方向反照率 Directional Albedo：

E(μo)=∫Ω+fssF=1(ωi,ωo)μi dωi,μi=n⋅ωi.E(\mu_o)=\int_{\Omega^+} f_{\rm ss}^{F=1}(\boldsymbol\omega_i,\boldsymbol\omega_o) \mu_i\,\mathrm d\omega_i, \qquad \mu_i=\mathbf n\cdot\boldsymbol\omega_i.

EE 表示该观察方向上单次模型保留的响应，1−E1-E 是应由后续微面散射补回的缺失响应。因 BRDF 互易，同一函数也可以理解为固定入射方向的半球反射能量。

各向同性时 EE 不随方位角变化，只依赖粗糙度和法线余弦。这里始终用 μ=cos⁡θ\mu=\cos\theta，θ\theta 相对法线；若角度从切线量起，才应写成相应正弦。

其投影加权平均是

Eavg=1π∫Ω+E(μ)μ dω=2∫01E(μ)μ dμ.E_{\rm avg}=\frac1\pi\int_{\Omega^+}E(\mu)\mu\,\mathrm d\omega =2\int_0^1E(\mu)\mu\,\mathrm d\mu.

方向余弦与粗糙度构成的二维能量查表空间

图中横轴是 μ\mu，纵轴是粗糙度，说明需要二维表；它是预计算值的可视化，不是物体照片。图未给数值色标，不应仅凭黑白去断言某处的具体 EE。EavgE_{\rm avg} 只随粗糙度变化，另存一维表即可。

补偿反射瓣

Kulla–Conty Energy Compensation 添加一份互易的反射瓣，补回 1−E1-E。选择对入射和出射对称的形状

fms(μi,μo)=[1−E(μi)][1−E(μo)]π(1−Eavg).f_{\rm ms}(\mu_i,\mu_o)= \frac{[1-E(\mu_i)][1-E(\mu_o)]}{\pi(1-E_{\rm avg})}.

为什么使用这个分母？对入射方向积分：

∫Ω+fmsμi dωi=1−E(μo)π(1−Eavg)∫Ω+[1−E(μi)]μi dωi=1−E(μo)π(1−Eavg)[π−πEavg]=1−E(μo).\begin{aligned} \int_{\Omega^+}f_{\rm ms}\mu_i\,\mathrm d\omega_i &=\frac{1-E(\mu_o)}{\pi(1-E_{\rm avg})} \int_{\Omega^+}[1-E(\mu_i)]\mu_i\,\mathrm d\omega_i\\ &=\frac{1-E(\mu_o)}{\pi(1-E_{\rm avg})} [\pi-\pi E_{\rm avg}]\\ &=1-E(\mu_o). \end{aligned}

因此 fssF=1+fmsf_{\rm ss}^{F=1}+f_{\rm ms} 在白炉下的响应为一。分子对称还保证交换入射、出射后不变。这里对齐的是缺失能量与互易性，并没有逐条恢复真实多次散射的方向形状。

加入能量补偿前后的材质结果

下排在高粗糙度处恢复了上排缺失的反射，左侧低粗糙度变化较小。补偿并非给所有粗糙表面统一加亮常量，它的幅度随入射方向、出射方向和粗糙度变化。

EavgE_{\rm avg} 接近一时分母很小，同时缺失分子也接近零，需处理数值极限。镜面或近镜面情形可直接跳过很小的补偿，避免由 LUT 误差放大噪声；随意夹分母而不评估分子，会改变归一化。

彩色补偿

恢复 F<1F<1 后，每次微面反射都会有吸收或透射，不能将所有缺失量都补成白色。用余弦加权平均 Fresnel 近似多次反射中的反射比例：

Favg=2∫01F(μ)μ dμ.F_{\rm avg}=2\int_0^1F(\mu)\mu\,\mathrm d\mu.

采用 Schlick 时，可以积分得到 Favg=F0+(1−F0)/21F_{\rm avg}=F_0+(1-F_0)/21。对有色反射逐 RGB 通道处理，这是将多跳混合后的反射方向近似为较分散分布。

以平均单次逃逸率 EavgE_{\rm avg} 估计后续过程，光多留一次就乘 Favg(1−Eavg)F_{\rm avg}(1-E_{\rm avg})。记 kk 为第一跳之后额外留在微面内的次数，相关项为

Ck=FavgEavg[Favg(1−Eavg)]k.C_k=F_{\rm avg}E_{\rm avg} [F_{\rm avg}(1-E_{\rm avg})]^k.

补偿针对至少发生一次额外微面反射的路径，因此从 k=1k=1 开始求和，并按无色缺失量 1−Eavg1-E_{\rm avg} 归一化：

Ccolor=11−Eavg∑k=1∞Ck=Favg2Eavg1−Favg(1−Eavg).C_{\rm color}=\frac1{1-E_{\rm avg}}\sum_{k=1}^\infty C_k =\frac{F_{\rm avg}^2E_{\rm avg}} {1-F_{\rm avg}(1-E_{\rm avg})}.

最终采用 fss+Ccolorfmsf_{\rm ss}+C_{\rm color}f_{\rm ms}。Favg=1F_{\rm avg}=1 时颜色系数为一，回到无吸收情况；反射率很小时，多跳至少经历两次反射，其贡献按 Favg2F_{\rm avg}^2 降低，符合这一近似的路径含义。

早期形式从 k=0k=0 起算，分子只有一份 FavgF_{\rm avg}；作者修正版附录明确将额外路径从 k=1k=1 起算并补上缺失量归一化，得到上面的平方形式。Kulla 与 Conty 的修正版讲义

课程中有色材质能量补偿的效果对比

下排粗糙金色材质的反射能量更多，同时仍保留颜色。图来自课程沿用的补偿演示，用于说明有色响应；不能据此认为早期演示图的每个数值都对应上述修正版。修正后的彩色补偿在高粗糙度处会比早期版本更暗，防止将真实吸收也补掉。

实时求值

预计算阶段按所选 NDF、几何项和粗糙度约定积分 E(μ,r)E(\mu,r)，再求 Eavg(r)E_{\rm avg}(r)。运行时只需要两次方向查表、一份平均值，再计算附加瓣。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
// 单次模型及 LUT 必须使用相同 NDF、Smith G 和粗糙度约定。
function compensatedBRDF(wi, wo, material):
    muI = dot(normal, wi)
    muO = dot(normal, wo)
    if muI <= 0 or muO <= 0:
        return 0
    single = evaluateMicrofacet(wi, wo, material)
    Ei = energyLut(muI, material.roughness)
    Eo = energyLut(muO, material.roughness)
    Eavg = averageEnergyLut(material.roughness)
    if 1 - Eavg < smallThreshold:
        return single
    additional = (1 - Ei) * (1 - Eo) / (PI * (1 - Eavg))
    Favg = material.F0 + (1 - material.F0) / 21
    colorWeight = Favg * Favg * Eavg / (1 - Favg * (1 - Eavg))
    return single + colorWeight * additional

这些计算在 RGB 通道上进行，LUT 误差、数值阈值和各向异性扩展都需另行评估。该补偿是表面反射的近似，不能直接替代完整的透射、多层或次表面 BSDF。

给单次微面 BRDF 随意加一份漫反射会改变能量预算，无法保证守恒。复合材质并非不能有漫反射与镜面两部分，但需要说明光如何分配到界面反射、内部散射和其他层；Kulla–Conty 的附加瓣专门用于补偿微面多跳损失，与任意新增一层漫反射有不同依据。